集合的基本运算（第一章 预备知识）
本课时在给定全集下引入补集运算，理解补集是相对于全集而言的，掌握补集的求法以及交、并、补之间的相互转化与简单计数。
这一页讲的是必修第一册 第一章 预备知识里的「集合的基本运算（第一章 预备知识）」，教材要求做到：能写出给定集合在指定全集中的补集。它不是凭空出现的——要先会「集合的基本运算（第一章 预备知识）」、「预备知识」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「必要条件与充分条件」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 2 道、进阶 6 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能写出给定集合在指定全集中的补集
- 能用德摩根关系把交并补相互转化
- 能用补集思想解决简单计数与实际情境问题
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 A = {2, 4}，则 A 在 U 中的补集是
- {1, 3, 5}
- {2, 4}
- {1, 2, 3}
- {3, 5}
看答案与解析
答案：A
解析：补集由全集中不属于 A 的元素组成。U 中除去 2 与 4，剩下 1、3、5，所以补集为 {1, 3, 5}。补集必须相对于明确给出的全集来谈，脱离全集无法确定补集。
第 2 题 基础
设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {1, 3, 5}，则 A 在 U 中的补集是 ____。
看答案与解析
答案：{2, 4, 6}
解析：全集 U 有 6 个元素，A 取走了 1、3、5 三个奇数，剩下 2、4、6 三个偶数构成补集。检查办法是补集与 A 的并集应恰好等于全集，且两者交集为空。
第 3 题 进阶
全集 U 有 20 个元素，集合 A 有 7 个元素，则 A 在 U 中的补集的元素个数是____。
看答案与解析
答案：13
解析：A 与其补集互不相交且并集为全集，所以两者元素个数之和等于全集的元素个数。用 20 减 7 得 13，即补集有 13 个元素。
第 4 题 进阶
设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2}，B = {2, 4, 5}，则 A 的补集与 B 的补集的交集是
- {1}
- {3}
- {2}
- {4, 5}
看答案与解析
答案：B
解析：A 的补集为 {3, 4, 5}，B 的补集为 {1, 3}，两者的公共元素只有 3，所以交集为 {3}。注意先分别求补集再取交，顺序不能颠倒成先取交再求补。
第 5 题 进阶
设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {2, 4, 6, 8}，则 A 的补集与 {1, 3, 5} 的交集是 ____。
看答案与解析
答案：{1, 3, 5}
解析：A 的补集为 {1, 3, 5, 7}，它与 {1, 3, 5} 的公共元素正是 1、3、5，所以交集为 {1, 3, 5}。被取的集合本身就是补集的子集，交运算后原样保留。
第 6 题 进阶
全集 U 有 30 个元素，A 与 B 的并集有 24 个元素，则 A 的补集与 B 的补集的交集的元素个数是____。
看答案与解析
答案：6
解析：由德摩根关系，A 的补集与 B 的补集的交集等于 A 与 B 的并集的补集。并集有 24 个元素，所以其补集有 30 减 24 等于 6 个元素，即所求个数为 6。
第 7 题 挑战
设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，A = {2, 3, 5, 7}，B = {1, 3, 5, 7, 9}，求 A 在 U 中的补集、A 与 B 的交集，以及 A 与 B 的并集的补集。
看答案与解析
答案：A 的补集是 {1, 4, 6, 8, 9}，交集是 {3, 5, 7}，并集的补集是 {4, 6, 8}
解析：从全集 U 中剔除 2、3、5、7 得 A 的补集 {1, 4, 6, 8, 9}。A 与 B 的公共元素为 3、5、7，交集是 {3, 5, 7}。A 与 B 的并集为 {1, 2, 3, 5, 7, 9}，在 U 中剔除这些元素得 {4, 6, 8}。可用德摩根关系核对，结果与分别求补集再取交集一致。
第 8 题 挑战
设全集为 U，A 与 B 都是 U 的子集且 A 包含于 B，说明 B 的补集与 A 的补集之间的包含关系，并写出推理过程。
看答案与解析
答案：B 的补集包含于 A 的补集
解析：任取 x 属于 B 的补集，则 x 不属于 B。又因 A 包含于 B，若 x 属于 A 则必有 x 属于 B，与 x 不属于 B 矛盾，所以 x 不属于 A，即 x 属于 A 的补集。这说明 B 的补集的每个元素都在 A 的补集中，故 B 的补集包含于 A 的补集。原集合越大，其补集越小，结论与直觉一致。
课标对应
…通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系…
《课程标准》原文节选（mbs-2017:H.SD.01）
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