集合的基本关系

答案：A

解析：含 n 个元素的集合共有 2 的 n 次方个子集。A 有 2 个元素，所以子集个数为 2 的 2 次方等于 4，即空集、{1}、{2}、{1, 2}。注意空集与集合自身都算子集。

答案：7

解析：含 3 个元素的集合共有 2 的 3 次方等于 8 个子集，真子集要求不等于集合自身，要把自身去掉，所以个数是 8 减 1 等于 7，其中包含空集。

答案：16

解析：A 有 4 个元素，每个元素在子集中都有取与不取两种选择，由乘法原理得子集个数为 2 的 4 次方等于 16。这 16 个子集包含空集与集合自身。

答案：B

解析：两个集合互相包含时元素完全相同，故相等，该命题正确。空集不是自身的真子集，第一个命题在 A 为空集时不成立；{0} 含有元素 0，不是空集；当 A 与 B 相等时两者子集个数相同，第四个命题不成立。

答案：⊆

解析：B 中的每个元素 2 与 3 都在 A 中，所以 B 是 A 的子集，记作 B 包含于 A。这里 B 与 A 不相等，B 还是 A 的真子集，但填包含符号已经足够准确。

答案：30

解析：A 有 5 个元素，子集总数为 2 的 5 次方等于 32。非空真子集要去掉空集与集合自身，即用 32 减去 2，得 30 个。此类计数注意区分真子集与非空真子集两个概念。

答案：0 ≤ a ≤ 1

解析：A 对应区间从 a 到 a 加 3，B 对应区间从 1 到 3。要使 B 整段落在 A 内，左端需满足 a ≤ 1，右端需满足 a 加 3 ≥ 3 即 a ≥ 0，两式联立得 0 ≤ a ≤ 1。端点取等号时 B 的端点恰好与 A 的端点重合，包含关系依然成立，所以区间取闭。

答案：a = 2

解析：B 中的元素 1 已在 A 中，所以只需 a 加 2 落在 A 内。若 a 加 2 等于 1，得 a = −1，此时 a² 等于 1，A 中出现两个 1，违背互异性，舍去。若 a 加 2 等于 3，得 a = 1，同样使 a² 等于 1 而重复，舍去。若 a 加 2 等于 a²，得 a = 2 或 a = −1，其中 a = 2 时 A = {1, 3, 4}、B = {1, 4}，符合要求。故 a = 2。