集合的概念与表示（第一章 预备知识）
本课时学习集合的表示方法，掌握列举法、描述法与区间表示，能根据元素的特点选择合适的写法，并读懂用区间刻画的范围集合。
这一页讲的是必修第一册 第一章 预备知识里的「集合的概念与表示（第一章 预备知识）」，教材要求做到：能按元素特点选用列举法或描述法表示集合。它不是凭空出现的——要先会「集合的概念与表示（第一章 预备知识）」、「预备知识」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「集合的基本关系」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 2 道、进阶 6 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能按元素特点选用列举法或描述法表示集合
- 能把不等式范围正确写成区间，端点取舍不写错
- 能由区间的书写判断端点是否包含
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
集合 A 由所有大于 −1 且小于等于 3 的实数组成，用区间表示 A 的结果是
- (−1, 3)
- [−1, 3)
- (−1, 3]
- [−1, 3]
看答案与解析
答案：C
解析：左端 −1 由严格大于给出，不包含端点，用小括号；右端 3 由小于等于给出，包含端点，用中括号。所以区间写作 (−1, 3]，端点取舍是区间书写的关键。
第 2 题 基础
用列举法表示集合 A：A 由所有小于 5 的正整数组成，则 A = ____。
看答案与解析
答案：{1, 2, 3, 4}
解析：小于 5 的正整数是 1、2、3、4，元素个数有限且不多，适合用列举法。注意 0 不是正整数，5 也不满足小于 5，二者都不能写进集合。
第 3 题 进阶
已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B 由 A 中所有偶数组成，则 B 中所有元素之和是____。
看答案与解析
答案：6
解析：A 中的偶数是 2 与 4，所以 B = {2, 4}，元素之和为 2 加 4 等于 6。判断时要逐个检验元素能否被 2 整除，1、3、5 都是奇数，不能进入 B。
第 4 题 进阶
下列集合中，元素个数恰好为 1 的是
- 由满足 x² = 9 的实数组成的集合
- 由满足 x² = −1 的实数组成的集合
- 由满足 x² > 0 的实数组成的集合
- 由满足 x² = 0 的实数组成的集合
看答案与解析
答案：D
解析：x² = 9 的实根是 3 与 −3，有 2 个元素；x² = −1 在实数范围内没有根，得到的是空集，元素个数为 0；x² 大于 0 的解含除 0 以外的全部实数，元素无数个；只有 x² = 0 恰有实根 0，元素个数为 1。
第 5 题 进阶
用区间表示集合 C：C 由所有满足 2 ≤ x < 5 的实数组成，则 C = ____。
看答案与解析
答案：[2, 5)
解析：左端由小于等于给出，端点 2 要取到，用中括号；右端由严格小于给出，端点 5 不取，用小括号。所以区间为 [2, 5)，写成圆括号与方括号混用的形式。
第 6 题 进阶
集合 M 由 10 以内且包含 10 的所有正偶数组成，则 M 中所有元素之和是____。
看答案与解析
答案：30
解析：10 以内且包含 10 的正偶数是 2、4、6、8、10，共 5 个。把它们相加得 2 加 4 加 6 加 8 加 10 等于 30，所以集合 M 的元素之和为 30。
第 7 题 挑战
用适当的方法表示由所有被 3 除余 1 的正整数组成的集合，并写出其中最小的三个元素。
看答案与解析
答案：最小的三个元素是 1、4、7
解析：被 3 除余 1 的正整数有无穷多个，逐一列举写不完，因此用描述法刻画元素共同特征最合适，可写成形如 3n 加 1 且 n 为非负整数的数。从小到大依次是 1、4、7，所以最小的三个元素是 1、4、7。
第 8 题 挑战
集合 A 的元素是满足 x² + y² = 5 的整数有序数对 (x, y)，写出 A 的全部元素并数出元素个数。
看答案与解析
答案：A 共有 8 个元素
解析：由 x² 与 y² 为非负整数且和为 5，只能是一个平方为 1、另一个平方为 4。依次取 x 为 1、−1 并配 y 为 2、−2，再取 x 为 2、−2 并配 y 为 1、−1，得到 8 个有序数对。因为元素是有序数对，(1, 2) 与 (2, 1) 不相同，所以共有 8 个元素。
课标对应
…通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系…
《课程标准》原文节选（mbs-2017:H.SD.01）
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