集合的概念与表示（第一章 预备知识）
本课时认识集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系，掌握集合元素的确定性、互异性与无序性，并学会用列举法表示给定的集合。
这一页讲的是必修第一册 第一章 预备知识里的「集合的概念与表示（第一章 预备知识）」，教材要求做到：能判断一组对象能否构成集合，说明理由时指出确定性。它不是凭空出现的——要先会「预备知识」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「集合的概念与表示（第一章 预备知识）」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 2 道、进阶 6 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能判断一组对象能否构成集合，说明理由时指出确定性
- 能正确使用属于符号表示元素与集合的关系
- 能用列举法写出指定简单集合的全部元素
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列各组对象中，能够构成一个集合的是
- 方程 x² − 5x + 6 = 0 的实数根
- 很大的正数全体
- 高一（1）班个子较高的同学
- 著名的数学家
看答案与解析
答案：A
解析：集合的元素必须具备确定性，即任一对象是否属于该集合都能明确判断。很大的正数、个子较高、著名都缺少明确标准，对象能否进入无法判定，故不能构成集合；方程的两根是 2 与 3，元素完全确定，所以能构成集合。
第 2 题 基础
用属于符号或不属于符号填空：已知集合 A = {−3, 0, 3}，则数 3 ____ A。
看答案与解析
答案：∈
解析：3 是集合 A 中列举出来的元素，因此 3 属于 A，记作 3 属于 A。若某对象不在列举范围内则用不属于符号表示。本题只需对照集合中列出的元素即可判断。
第 3 题 进阶
集合 A 由方程 x² − 7x + 12 = 0 的全部实数根组成，则 A 中所有元素之和等于____。
看答案与解析
答案：7
解析：解方程得两个实根 3 与 4，二者都是实数，所以 A = {3, 4}。集合元素之和为 3 加 4 等于 7。注意根的个数为 2，元素互异，不需要去重。
第 4 题 进阶
下列集合中，与集合 {1, 2, 3} 相等的是
- {1, 2}
- {3, 2, 1}
- {1, 2, 3, 4}
- {0, 1, 2, 3}
看答案与解析
答案：B
解析：集合相等要求两个集合的元素完全相同。集合中的元素没有顺序，所以 {3, 2, 1} 与 {1, 2, 3} 元素完全一样，是同一集合。其余选项分别少一个元素或多出元素，均不相等。
第 5 题 进阶
用列举法表示集合 B：B 由所有大于 1 且小于 6 的整数组成，则 B = ____。
看答案与解析
答案：{2, 3, 4, 5}
解析：大于 1 且小于 6 的整数依次是 2、3、4、5，端点 1 与 6 不满足严格不等号，不能取。所以集合 B 的元素就是这四个数，用列举法写成花括号内依次列出。
第 6 题 进阶
集合 M 由所有小于 100 的正奇数组成，则 M 中元素的个数是____。
看答案与解析
答案：50
解析：小于 100 的正整数共 99 个，其中奇数与偶数各占一半，奇数有 1、3、5 一直到 99，共 99 加 1 再除以 2 等于 50 个。所以集合 M 的元素个数是 50。
第 7 题 挑战
已知集合 A = {a + 2, (a + 1)², a² + 3a + 3}，且数 1 属于 A，求实数 a 的取值集合，并写出完整理由。
看答案与解析
答案：a 的取值集合为 {0}
解析：若 1 等于 a + 2，得 a = −1，此时三个元素为 1、0、1，出现重复，违背互异性，舍去。若 1 等于 (a + 1)²，得 a = 0 或 a = −2：a = 0 时元素为 2、1、3 互异，可取；a = −2 时元素为 0、1、1 重复，舍去。若 1 等于 a² + 3a + 3，得 a = −1 或 a = −2，两者代回都造成重复。故只有 a = 0。
第 8 题 挑战
判断下面三个说法是否正确，并逐一说明理由：第一，集合 {1, 2} 与集合 {2, 1} 是同一个集合；第二，由大于 0 且小于 1 的整数组成的集合是空集；第三，数 0 与空集是同一个对象。
看答案与解析
答案：第一个说法正确，第二个说法正确，第三个说法错误
解析：集合的元素没有先后顺序，所以 {1, 2} 与 {2, 1} 元素完全相同，第一个说法正确。大于 0 且小于 1 的整数一个也不存在，该集合没有任何元素，就是空集，第二个说法正确。0 是一个具体的数，空集是不含任何元素的集合，空集可以作为一个元素被列举，但 0 不是空集，第三个说法错误。
课标对应
…通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系…
《课程标准》原文节选（mbs-2017:H.SD.01）
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