集合的基本运算（第一章 预备知识）
本课时学习交集与并集两种基本运算，理解由公共元素与全部元素构成新集合的过程，会用列举与区间两种形式表示运算结果。
这一页讲的是必修第一册 第一章 预备知识里的「集合的基本运算（第一章 预备知识）」，教材要求做到：能由两个集合求出交集与并集并用列举法写出结果。它不是凭空出现的——要先会「集合的基本关系」、「预备知识」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「集合的基本运算（第一章 预备知识）」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 2 道、进阶 6 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能由两个集合求出交集与并集并用列举法写出结果
- 能用容斥关系计算并集的元素个数
- 能用区间表示取值范围集合的交与并
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A 与 B 的交集是
- {1, 2, 3, 4}
- {1, 4}
- {2, 3}
- 空集
看答案与解析
答案：C
解析：交集由两个集合的公共元素组成。A 与 B 都含有的元素是 2 与 3，所以交集为 {2, 3}。把两个集合全部元素合并得到的是并集，含 1 与 4 的选项混淆了交与并。
第 2 题 基础
已知 A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5}，则 A 与 B 的并集是 ____。
看答案与解析
答案：{1, 2, 3, 4, 5}
解析：并集由属于 A 或属于 B 的全部元素组成，公共元素只写一次。把两集合元素合并并按互异性去掉重复的 3 与 4，得到 {1, 2, 3, 4, 5}。
第 3 题 进阶
集合 A 有 12 个元素，集合 B 有 9 个元素，A 与 B 的交集有 4 个元素，则 A 与 B 的并集的元素个数是____。
看答案与解析
答案：17
解析：并集元素个数等于两集合元素个数之和减去重复计入的交集元素个数，即 12 加 9 减 4 等于 17。这样计算是因为交集中的每个元素在两集合中各被数了一次，需要扣除一次。
第 4 题 进阶
已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4, 5}，则 A 与 B 的交集的子集个数是
- 2
- 3
- 8
- 4
看答案与解析
答案：D
解析：先求交集，A 与 B 的公共元素是 2 与 3，交集含 2 个元素。含 2 个元素的集合共有 2 的 2 次方等于 4 个子集，所以子集个数是 4，而不是 8。
第 5 题 进阶
已知 A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则 A 与 B 的交集是 ____。
看答案与解析
答案：{1, 2}
解析：A 的每个元素 1、2 都在 B 中，所以公共元素就是 1 与 2，交集为 {1, 2}，恰好等于 A。这说明 A 是 B 的子集时，两者的交集就是 A 本身。
第 6 题 进阶
设 A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {2, 4, 6}，则 A 与 B 的交集中所有元素之和是____。
看答案与解析
答案：6
解析：公共元素是 2 与 4，所以交集为 {2, 4}，元素之和为 2 加 4 等于 6。6 只在 B 中而不在 A 中，不能计入交集。
第 7 题 挑战
已知 A 由所有满足 −1 < x ≤ 3 的实数组成，B 由所有满足 x ≥ 2 的实数组成，求 A 与 B 的交集与并集，并用区间表示结果。
看答案与解析
答案：交集是 [2, 3]，并集是 (−1, +∞)
解析：A 对应区间 (−1, 3]，B 对应区间 [2, +∞)。公共部分是 2 到 3 这一段，两端都能取到，所以交集为 [2, 3]。两者合起来覆盖了从 −1 到无穷的全部实数，且 −1 不取，所以并集为 (−1, +∞)。书写的关键是判断端点是否被至少一个集合取到。
第 8 题 挑战
某班 45 名学生中，参加数学竞赛的有 20 人，参加物理竞赛的有 15 人，两项都参加的有 6 人，求至少参加一项的人数与两项都没参加的人数。
看答案与解析
答案：至少参加一项 29 人，两项都没参加 16 人
解析：设参加数学竞赛的为集合 A，参加物理竞赛的为集合 B，则两项都参加的 6 人属于交集。由容斥关系，并集人数为 20 加 15 减 6 等于 29，这就是至少参加一项的人数。全班 45 人中没有进入并集的即两项都没参加的，人数为 45 减 29 等于 16。
课标对应
…通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系…
《课程标准》原文节选（mbs-2017:H.SD.01）
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