一元二次不等式
本节学习一元二次不等式的解法：先求对应方程的根，再结合抛物线开口方向写出解集，并处理二次项系数为负、判别式非正以及恒成立等情形。
这一页讲的是湘教版必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 一元二次不等式里的「一元二次不等式」，教材要求做到：能按「求根、画图、写解集」的步骤解一元二次不等式。它不是凭空出现的——要先会「从函数观点看一元二次方程」、「第2章 一元二次函数、方程和不等式」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「函数」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能按「求根、画图、写解集」的步骤解一元二次不等式
- 会处理二次项系数为负的不等式，并能解决简单的不等式恒成立问题
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
不等式 x 的平方减 x 减 6 大于 0 的解集是（ ）。
- 小于负 2 或大于 3 的实数
- 大于负 2 且小于 3 的实数
- 小于负 3 或大于 2 的实数
- 大于负 3 且小于 2 的实数
看答案与解析
答案：A
解析：左边分解为 x 减 3 与 x + 2 的积，两根为负 2 和 3，抛物线开口向上，函数值大于 0 的部分在两根之外，所以解集是小于负 2 或大于 3。
第 2 题 基础
不等式 x 减 1 与 x + 3 的积小于 0 的解集是（ ）。
- 小于负 3 或大于 1 的实数
- 大于负 3 且小于 1 的实数
- 大于负 1 且小于 3 的实数
- 小于负 1 或大于 3 的实数
看答案与解析
答案：B
解析：两根为 1 和负 3，二次项系数为正，抛物线开口向上，积小于 0 的部分在两根之间，所以解集是负 3 小于 x 小于 1。
第 3 题 进阶
不等式负 x 的平方加 2x + 3 大于或等于 0 的解集是（ ）。
- 小于或等于负 1 或大于或等于 3 的实数
- 大于或等于负 3 且小于或等于 1 的实数
- 小于或等于负 3 或大于或等于 1 的实数
- 大于或等于负 1 且小于或等于 3 的实数
看答案与解析
答案：D
解析：两边同乘负 1 化为 x 的平方减 2x 减 3 小于或等于 0，分解为 x 减 3 与 x + 1 的积，解集是负 1 到 3 的闭区间，即负 1 小于或等于 x 小于或等于 3。
第 4 题 进阶
若不等式 x 的平方加 mx + 1 大于 0 对一切实数 x 都成立，则 m 的取值范围是（ ）。
- 负 2 小于 m 小于 2
- m 小于负 2 或 m 大于 2
- 负 2 小于或等于 m 小于或等于 2
- 0 小于 m 小于 2
看答案与解析
答案：A
解析：二次项系数为正，恒大于 0 要求抛物线开口向上且与 x 轴无交点，即判别式 m 的平方减 4 小于 0，解得负 2 小于 m 小于 2。
第 5 题 挑战
不等式 x 的平方减 4 小于或等于 0 的整数解共有（ ）。
- 3 个
- 4 个
- 5 个
- 6 个
看答案与解析
答案：C
解析：解集是负 2 小于或等于 x 小于或等于 2，其中的整数为负 2、负 1、0、1、2，共 5 个，注意两个端点都取到，不要漏算。
第 6 题 进阶
不等式 x 的平方减 6x + 5 小于或等于 0 的整数解共有多少个？
看答案与解析
答案：5
解析：左边分解为 x 减 1 与 x 减 5 的积，解集是 1 小于或等于 x 小于或等于 5，整数解为 1、2、3、4、5，共 5 个。
第 7 题 基础
不等式 x 的平方大于 9 的解集是什么？
看答案与解析
答案：x 小于负 3 或 x 大于 3
解析：移项得 x 的平方减 9 大于 0，分解为 x 减 3 与 x + 3 的积，两根为负 3 和 3，开口向上取两根之外，所以解集是 x 小于负 3 或 x 大于 3。
第 8 题 挑战
解不等式 2x 的平方减 3x 减 2 大于或等于 0。
看答案与解析
答案：左边分解为 2x 加 1 与 x 减 2 的积，解集是 x 小于或等于负二分之一或 x 大于或等于 2
解析：先把左边因式分解为 2x + 1 与 x 减 2 的积，得两根负二分之一和 2，二次项系数为 2 大于 0，抛物线开口向上，取两根之外，故解集为 x 小于或等于负二分之一或 x 大于或等于 2。
课标对应
能根据斜率判定两条直线平行或垂直
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.07）
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