从函数观点看一元二次方程
本节把一元二次方程的实根看作二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，用判别式判断交点个数，并用韦达定理研究两根之和与两根之积，建立方程与函数之间的联系。
这一页讲的是湘教版必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 从函数观点看一元二次方程里的「从函数观点看一元二次方程」，教材要求做到：能把一元二次方程 ax 的平方加 bx + c = 0 的根与抛物线和 x 轴的交点对应起来。它不是凭空出现的——要先会「相等关系与不等关系」、「第2章 一元二次函数、方程和不等式」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「一元二次不等式」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能把一元二次方程 ax 的平方加 bx + c = 0 的根与抛物线和 x 轴的交点对应起来
- 会用判别式判断实根个数，会用韦达定理求两根之和与两根之积
先修关系
箭头从「先修」指向「本知识点」，再指向「后续」；点节点可跳到对应页面。
诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
二次函数 y = x 的平方减 2x 减 3 的图象与 x 轴的交点个数是（ ）。
- 0 个
- 1 个
- 2 个
- 3 个
看答案与解析
答案：C
解析：令函数值为 0，方程左边分解为 x 减 3 与 x + 1 的积，得两个不同实根 3 和负 1，所以图象与 x 轴有两个交点。
第 2 题 基础
一元二次方程 ax 的平方加 bx + c = 0（a 不等于 0）有两个相等实根的充要条件是（ ）。
- 判别式小于 0
- 判别式大于 0
- 判别式等于 0
- a 等于 0
看答案与解析
答案：C
解析：判别式等于 0 时方程有两个相等实根，此时抛物线顶点正好落在 x 轴上，图象与 x 轴只有一个公共点。判别式大于 0 有两个不等实根，小于 0 没有实根。
第 3 题 进阶
函数 y = x 的平方减 4x + 4 的零点个数是（ ）。
- 0 个
- 1 个
- 2 个
- 4 个
看答案与解析
答案：B
解析：函数值等于 x 减 2 的差的平方，只有当 x = 2 时为零，所以零点只有一个，即 x = 2，对应图象与 x 轴相切。
第 4 题 进阶
函数 y = x 的平方减 5x + 6 的零点是（ ）。
- 2 和 3
- 负 2 和负 3
- 1 和 6
- 负 1 和负 6
看答案与解析
答案：A
解析：令 y = 0，左边分解为 x 减 2 与 x 减 3 的积，得 x = 2 或 x = 3，这两个数就是函数的零点，也就是图象与 x 轴交点的横坐标。
第 5 题 挑战
若函数 y = x 的平方加 2x + m 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值是（ ）。
- 0
- 1
- 负 1
- 2
看答案与解析
答案：B
解析：只有一个公共点意味着对应方程有两个相等实根，判别式 4 减 4m = 0，解得 m = 1，此时函数为 x + 1 的完全平方。
第 6 题 进阶
已知方程 x 的平方减 2x 减 8 = 0 有两个实根，则这两个根的和是多少？
看答案与解析
答案：2
解析：由韦达定理，两根之和等于负的一次项系数除以二次项系数，即 2；也可分解为 x 减 4 与 x + 2，两根 4 与负 2 之和为 2。
第 7 题 基础
一元二次方程 x 的平方减 7x + 12 = 0 的两根之积是多少？
看答案与解析
答案：12
解析：由韦达定理，两根之积等于常数项除以二次项系数，二次项系数为 1，所以积等于 12；也可分解为 x 减 3 与 x 减 4 验证。
第 8 题 挑战
说明二次函数 y = ax 的平方加 bx + c（a 不等于 0）的图象与 x 轴交点个数由什么决定，并写出三种情形。
看答案与解析
答案：由判别式决定：判别式大于 0 时有两个交点，等于 0 时有一个交点，小于 0 时没有交点
解析：图象与 x 轴交点横坐标就是方程 ax 的平方加 bx + c = 0 的实根。判别式大于 0 有两个不等实根即两个交点；等于 0 有两个相等实根即一个交点；小于 0 无实根即没有交点。
课标对应
结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率。
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.06）
继续学习
想要这一节的完整讲解与练习？
微信扫一扫下方二维码关注「天方乘风」，回复「知识点」领取这一节（及整册）的 Word 版。
找不到码？在微信里搜公众号「天方乘风」即可。
