相等关系与不等关系
本节从等式的性质过渡到不等式的性质，学习用差值与商值比较两个实数或代数式的大小，掌握不等式在两边加减、乘除正负数时的变形规则，并用它们解决简单的范围问题。
这一页讲的是湘教版必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 相等关系与不等关系里的「相等关系与不等关系」，教材要求做到：会用求差法比较两个代数式的大小，并说明差的符号依据。它不是凭空出现的——要先会「常用逻辑用语」、「第2章 一元二次函数、方程和不等式」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「从函数观点看一元二次方程」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 会用求差法比较两个代数式的大小，并说明差的符号依据
- 能正确运用不等式性质进行变形，特别注意乘除负数时变号
先修关系
箭头从「先修」指向「本知识点」，再指向「后续」；点节点可跳到对应页面。
诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
已知 a = b，则下列各式一定成立的是（ ）。
- a 减 c 等于 b 加 c
- ac 等于 bd
- a 加 c 等于 b 加 c
- a 除以 c 等于 b 除以 c
看答案与解析
答案：C
解析：等式两边同加同一个数仍然相等，所以 a + c = b + c 恒成立；乘不同的数、除以可能为 0 的 c 都不能保证成立。
第 2 题 基础
已知 a 等于根号 5，b = 2.2，则 a 与 b 的大小关系是（ ）。
- a 大于 b
- a 小于 b
- a 等于 b
- 无法确定
看答案与解析
答案：A
解析：比较平方：a 的平方等于 5，b 的平方等于 4.84，二者都为正数且 5 大于 4.84，所以 a 大于 b，即根号 5 约等于 2.236 大于 2.2。
第 3 题 进阶
已知 a 大于 b，c 小于 0，则下列不等式成立的是（ ）。
- ac 大于 bc
- ac 小于 bc
- a 加 c 小于 b 加 c
- a 除以 c 大于 b 除以 c
看答案与解析
答案：B
解析：不等式两边同乘负数，不等号方向改变，所以 ac 小于 bc；同加同一个数方向不变，故 a + c 应大于 b + c，同除以负数也应反向。
第 4 题 进阶
已知 a 大于 b 大于 0，c 大于 d 大于 0，则下列不等式一定成立的是（ ）。
- ac 大于 bd
- ac 小于 bd
- a 减 c 大于 b 减 d
- a 除以 c 大于 b 除以 d
看答案与解析
答案：A
解析：各字母都为正数时，同向正数不等式可以相乘，由 a 大于 b 与 c 大于 d 得 ac 大于 bd；减法与异向相除都不能直接由条件推出。
第 5 题 挑战
把「x 的 2 倍与 3 的差不大于 5」用不等式表示，正确的是（ ）。
- 2x 减 3 大于或等于 5
- 2x 减 3 小于或等于 5
- 2x 减 3 小于 5
- 2x 减 3 大于 5
看答案与解析
答案：B
解析：不大于就是小于或等于，含等号；先写 2x 再减去 3，所以不等式为 2x 减 3 小于或等于 5，注意不能漏掉等号也不能写成严格小于。
第 6 题 进阶
不等式 3x 小于 12 的最大整数解是多少？
看答案与解析
答案：3
解析：两边同除以正数 3，不等号方向不变，得 x 小于 4，小于 4 的整数中最大的是 3，所以最大整数解为 3。
第 7 题 基础
已知 a 减 b 小于 0，则 a 与 b 的大小关系是什么？
看答案与解析
答案：a 小于 b
解析：由 a 减 b 小于 0，两边同加 b，不等号方向不变，得 a 小于 b，这就是求差法比较大小的基本结论。
第 8 题 挑战
用求差法证明：对任意实数 a、b，都有 a 的平方加 b 的平方大于或等于 2ab。
看答案与解析
答案：因为 a 的平方加 b 的平方减 2ab 等于 a 减 b 的差的平方，它大于或等于 0，所以原不等式成立
解析：作差得 a 的平方减 2ab + b 的平方，正好是 a 减 b 的完全平方。完全平方非负，所以差大于或等于 0，移项即得 a 的平方加 b 的平方大于或等于 2ab，当 a = b 时取等号。
课标对应
了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算。
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.05）
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