常用逻辑用语
本节学习命题与真假判断，研究充分条件、必要条件与充要条件的含义和判断方法，并学习全称量词、存在量词以及含这两种量词命题的否定形式。
这一页讲的是湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 · 常用逻辑用语里的「常用逻辑用语」，教材要求做到：能判断给定 p 是 q 的充分条件、必要条件还是充要条件。它不是凭空出现的——要先会「集合」、「第1章 集合与逻辑」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「相等关系与不等关系」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 2 道、进阶 6 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能判断给定 p 是 q 的充分条件、必要条件还是充要条件
- 会写出含全称量词或存在量词命题的否定，并判断其真假
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列命题中是假命题的是（ ）。
- 若 x 等于 1，则 x 的平方等于 1
- 所有有理数都是实数
- 存在实数 x，使 x 的平方加 1 等于 0
- 若 a 大于 b，则 a 加 1 大于 b 加 1
看答案与解析
答案：C
解析：任何实数的平方都不小于 0，再加上 1 一定大于 0，不可能等于 0，所以第三个命题是假命题；其余三个都与实数与不等式的性质相符。
第 2 题 基础
已知 x 是实数，则 x 大于 2 是 x 大于 1 的（ ）。
- 充分不必要条件
- 必要不充分条件
- 充分必要条件
- 既不充分也不必要条件
看答案与解析
答案：A
解析：由 x 大于 2 一定能推出 x 大于 1，充分性成立；但 x 取 1.5 时满足 x 大于 1 却不满足 x 大于 2，必要性不成立，所以是充分不必要条件。
第 3 题 进阶
已知 a、b 是实数，则 a = b 是 a 的平方等于 b 的平方的（ ）。
- 必要不充分条件
- 充分不必要条件
- 充分必要条件
- 既不充分也不必要条件
看答案与解析
答案：B
解析：a = b 时两边平方当然相等，充分性成立；但 a = 1、b 等于负 1 时平方也相等，所以必要性不成立，是充分不必要条件。
第 4 题 进阶
已知 x、y 是实数，则 x = 0 且 y = 0 是 x 的平方加 y 的平方等于 0 的（ ）。
- 充分不必要条件
- 必要不充分条件
- 充分必要条件
- 既不充分也不必要条件
看答案与解析
答案：C
解析：两数都为 0 时平方和显然为 0；反之两个非负数之和为 0，只能每个都为 0，即 x 与 y 都等于 0，两个方向都成立，所以是充要条件。
第 5 题 挑战
命题「存在实数 x，使 x 的平方加 2x + 3 小于或等于 0」的真假是（ ）。
- 真命题
- 假命题
- 有时真有时假
- 无法判断
看答案与解析
答案：B
解析：把二次式配方得 x + 1 的平方再加 2，它对任何实数都大于或等于 2，绝不可能小于或等于 0，所以这个存在量词命题是假命题。
第 6 题 挑战
已知集合 A 是大于 1 的实数组成的集合，集合 B 是大于 a 的实数组成的集合，若 A 是 B 的子集，则 a 的最大值是多少？
看答案与解析
答案：1
解析：A 是 B 的子集要求凡是大于 1 的数都大于 a，即 a 不能大于 1，所以 a 小于或等于 1，a 的最大值是 1。
第 7 题 进阶
写出命题「对任意实数 x，x 的平方加 2x + 3 都大于 0」的否定。
看答案与解析
答案：存在实数 x，使 x 的平方加 2x 加 3 小于或等于 0
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，同时要把结论「大于 0」否定为「小于或等于 0」，所以否定是存在实数 x 使该二次式小于或等于 0。
第 8 题 进阶
写出「若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等」的逆命题，并判断其真假。
看答案与解析
答案：逆命题是若两个三角形面积相等则它们全等，这是假命题，面积相等不能保证形状相同
解析：把原命题的条件与结论交换得到逆命题。面积相等的两个三角形可能一个很扁一个很陡，形状不同并不全等，所以逆命题为假。
课标对应
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.03）
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