集合
本节建立集合的概念，明确元素的确定性与互异性，学习用列举法和描述法表示集合，认识子集、真子集与集合相等，并学习交集、并集、补集三种基本运算。
这一页讲的是湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 · 集合里的「集合」，教材要求做到：能判断元素与集合的属于关系，并用列举法或描述法表示给定集合。它不是凭空出现的——要先会「第1章 集合与逻辑」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「常用逻辑用语」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能判断元素与集合的属于关系，并用列举法或描述法表示给定集合
- 会求两个集合的交集与并集，会求一个集合在给定全集中的补集
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列对象中能构成集合的是（ ）。
- 一切很大的数
- 方程 x 的平方减 1 等于 0 的所有实数根
- 某班个子高的男生
- 几本有趣的书
看答案与解析
答案：B
解析：方程 x 的平方减 1 = 0 的实数根只有 1 和负 1，标准明确，能构成集合；很大、高、有趣都没有确定标准，不能判断对象是否属于，所以不能构成集合。
第 2 题 基础
集合中的元素为满足 x 的平方等于 4 的自然数 x，用列举法表示这个集合是（ ）。
- 只含 2 的集合
- 只含负 2 的集合
- 含负 2 和 2 的集合
- 空集
看答案与解析
答案：A
解析：方程 x 的平方等于 4 的实数根是 2 和负 2，其中只有 2 是自然数，负 2 不是自然数，所以这个集合只含元素 2。
第 3 题 进阶
已知集合 A 由 1、2、3 组成，集合 B 由 2、3、4 组成，则 A 与 B 的交集共有多少个子集？
- 2 个
- 3 个
- 4 个
- 8 个
看答案与解析
答案：C
解析：交集由公共元素 2 和 3 组成，含两个元素，其子集个数为 2 的 2 次方即 4 个，包括空集、两个单元素集合和交集本身。
第 4 题 进阶
已知全集 U 由 1、2、3、4、5 组成，集合 A 由奇数 1、3、5 组成，则 A 在 U 中的补集是（ ）。
- 由 1、2、3 组成的集合
- 由 1、3、5 组成的集合
- 由 1、4、5 组成的集合
- 由 2、4 组成的集合
看答案与解析
答案：D
解析：补集要求元素属于全集但不属于 A。在 1 到 5 中，1、3、5 属于 A，剩下 2 和 4 不属于 A，所以补集是由 2 和 4 组成的集合。
第 5 题 挑战
设集合 M 满足：M 包含 1，且 M 是集合 1、2、3 的子集。这样的 M 共有（ ）。
- 2 个
- 3 个
- 4 个
- 5 个
看答案与解析
答案：C
解析：M 必含 1，另外可以从 2 和 3 中任选若干个，因此 M 只含 1、含 1 和 2、含 1 和 3、含 1、2、3 四种情况，共 4 个。
第 6 题 进阶
由三个不同字母 a、b、c 组成的集合共有多少个真子集？
看答案与解析
答案：7
解析：含三个元素的集合共有 2 的 3 次方即 8 个子集，去掉与原集合相等的那个，真子集共 7 个。
第 7 题 基础
已知集合 A 由 1、2、3、4 组成，集合 B 由 3、4、5 组成，用列举法写出 A 与 B 的并集。
看答案与解析
答案：由 1、2、3、4、5 组成的集合，即 A 并 B 等于 1、2、3、4、5
解析：并集由属于 A 或属于 B 的所有元素组成，把两集合元素合并，公共的 3 和 4 只写一次，得到 1、2、3、4、5。
第 8 题 挑战
用描述法表示「被 3 除余 1 的正整数」组成的集合。
看答案与解析
答案：这个集合是 x 满足 x 等于 3k 加 1 且 k 为自然数的全体
解析：被 3 除余 1 的正整数依次是 1、4、7、10，它们都形如 3k + 1，其中 k 取 0、1、2 等自然数，因此可用 x = 3k + 1、k 属于自然数来刻画这个集合。
课标对应
通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.02）
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