函数
本节用集合语言给出函数的定义，强调定义域、值域与对应关系三个要素，学习求简单函数的定义域与函数值，并认识分段函数在每一段上分别对应一个解析式的特点。
这一页讲的是湘教版必修第一册 第3章 函数的概念与性质 · 函数里的「函数」，教材要求做到：能根据解析式求出使函数有意义的自变量取值范围。它不是凭空出现的——要先会「一元二次不等式」、「第3章 函数的概念与性质」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「函数的基本性质」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能根据解析式求出使函数有意义的自变量取值范围
- 会求具体点的函数值，并能读懂分段函数并在相应段上代入
先修关系
箭头从「先修」指向「本知识点」，再指向「后续」；点节点可跳到对应页面。
诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列对应关系中，y 是 x 的函数的是（ ）。
- x 大于 0 时 y 的平方等于 x
- y 的绝对值等于 x
- 每一个 x 都对应两个 y
- y 等于 x 的平方
看答案与解析
答案：D
解析：函数要求对定义域内每个 x 都有唯一确定的 y 与之对应。前三项中同一个 x 往往对应两个 y，不满足唯一性；而 y = x 的平方对每个 x 只给出一个 y。
第 2 题 基础
函数 f(x) = 1 除以 x 减 2 的定义域是（ ）。
- x 不等于 2 的实数
- x 大于 2 的实数
- x 小于 2 的实数
- 全体实数
看答案与解析
答案：A
解析：分式要有意义，分母不能为 0，所以 x 减 2 不等于 0，即 x 不等于 2。除此之外 x 可以取任何实数。
第 3 题 进阶
函数 f(x) 等于根号下 x 减 1 的定义域是（ ）。
- x 大于 1 的实数
- x 小于或等于 1 的实数
- x 不等于 1 的实数
- x 大于或等于 1 的实数
看答案与解析
答案：D
解析：偶次根号下必须非负，所以 x 减 1 大于或等于 0，得 x 大于或等于 1。x = 1 时根号内为 0，函数值为 0，仍然有意义，故端点要取。
第 4 题 进阶
函数 f(x) = x 的平方加 1 的值域是（ ）。
- 全体实数
- 大于或等于 1 的实数
- 大于 1 的实数
- 大于或等于 0 的实数
看答案与解析
答案：B
解析：x 的平方最小为 0，在 x = 0 时取到，所以整个函数值最小为 1；当 x 的绝对值增大时函数值无限增大，因此值域是大于或等于 1 的实数。
第 5 题 挑战
已知函数在 x 小于 0 时等于 x + 1，在 x 大于或等于 0 时等于 x 的平方，则 f(负 1) 与 f(2) 的和是（ ）。
- 3
- 4
- 5
- 6
看答案与解析
答案：B
解析：负 1 小于 0，代入第一段得 f(负 1) = 0；2 大于或等于 0，代入第二段得 f(2) = 4。两值相加等于 4，关键是按自变量所在范围选对解析式。
第 6 题 基础
已知函数 f(x) = x 的平方减 2x，求 f(3) 的值。
看答案与解析
答案：3
解析：把 x = 3 代入解析式，得 9 减 6，结果为 3，代入时注意负号与运算顺序，先算平方再相减。
第 7 题 进阶
已知函数 f(x) = 3x 减 2，若 f(a) = 4，则 a 等于多少？
看答案与解析
答案：2
解析：由 f(a) = 4 得 3a 减 2 = 4，移项得 3a = 6，所以 a = 2，这是已知函数值反求自变量的基本方法。
第 8 题 挑战
判断关系式 y 的平方等于 x 是否表示 y 是 x 的函数，并说明理由。
看答案与解析
答案：不表示，因为当 x 大于 0 时 y 有两个不同的值与之对应，不满足唯一性
解析：取 x = 4，则 y = 2 或 y 等于负 2 都满足关系式，同一个 x 对应了两个 y，这与函数要求每个 x 有唯一确定的 y 相矛盾，所以它不是函数。
课标对应
掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.09）
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