2.3 基本不等式及其应用

数学 ｜ 10年级

基本不等式：对正数 a、b，a 加 b 的和除以 2 称为算术平均值，根号 ab 称为几何平均值，平均值不等式说明算术平均值不小于几何平均值，等号当且仅当 a 等于 b 时成立，并且对非负实数同样成立；对任意实数还有 a 加 b 的和除以 2 的平方不小于 ab；这些不等式常用来证明形如 x 加 x 分之 1 不小于 2 的结论并求最值。

这一页讲的是沪教版必修第一册 第2章 等式与不等式 · 2.3 基本不等式及其应用里的「2.3 基本不等式及其应用」，教材要求做到：能写出两个正数的算术平均值与几何平均值，并说明平均值不等式的等号条件。它不是凭空出现的——要先会「2.2 不等式的求解」、「第2章 等式与不等式」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「3.1 幂与指数」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。

掌握标准

先修关系

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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）

第 1 题　基础

对于正数 a 和 b，它们的算术平均值是

  1. 根号 ab
  2. a 加 b 的和除以 2
  3. a 加 b 的和除以 2 的平方
  4. a 乘 b 再除以 a 加 b
看答案与解析

答案：B

解析：教材把正数 a、b 的 a 加 b 的和除以 2 称为算术平均值，而把根号 ab 称为几何平均值，两者合称平均值。

第 2 题　基础

平均值不等式中，等号成立的条件是

  1. a 等于 b
  2. a 等于 0
  3. b 等于 0
  4. a 与 b 互为相反数
看答案与解析

答案：A

解析：证明时用到 a 加 b 的和除以 2 减根号 ab 等于根号 a 减根号 b 的差的平方除以 2，该式等于 0 当且仅当根号 a 等于根号 b，也就是 a 等于 b。

第 3 题　基础

已知 x 大于 0，则 x 加 x 分之 1 的最小值是多少，此时 x 等于多少

看答案与解析

答案：最小值是 2，此时 x 等于 1

解析：由平均值不等式，x 加 x 分之 1 大于等于 2 倍的根号下 x 乘 x 分之 1，等于 2。等号当且仅当 x 等于 x 分之 1，即 x 的平方等于 1，结合 x 大于 0 得 x 等于 1。

第 4 题　进阶

已知 x 大于 0，当 x 取何值时 x 加 x 分之 4 取得最小值

看答案与解析

答案：2

解析：由平均值不等式，x 加 x 分之 4 大于等于 2 倍的根号下 x 乘 x 分之 4，等于 4。等号当且仅当 x 等于 x 分之 4，即 x 的平方等于 4，结合 x 大于 0 得 x 等于 2。

第 5 题　进阶

当正数 a 和 b 分别表示一个矩形的两边长时，几何平均值根号 ab 可以理解为

  1. 该矩形周长的一半
  2. 该矩形的面积
  3. 该矩形的对角线长
  4. 与该矩形面积相等的正方形的边长
看答案与解析

答案：D

解析：根号 ab 的平方等于 ab，正好等于以 a、b 为边长的矩形面积，所以几何平均值可以理解为与该矩形面积相同的正方形的边长。

第 6 题　进阶

对于任意的实数 a 和 b，下列结论中正确的是

  1. a 加 b 的和除以 2 的平方恒小于 ab
  2. a 加 b 的和除以 2 的平方恒等于 ab
  3. a 加 b 的和除以 2 的平方大于等于 ab，等号当且仅当 a 等于 b 时成立
  4. 两者的大小关系不能确定
看答案与解析

答案：C

解析：由 a 的平方加 b 的平方大于等于 2ab 可得 a 加 b 的和的平方大于等于 4ab，两边同除以 4 即得 a 加 b 的和除以 2 的平方大于等于 ab，且等号当且仅当 a 等于 b 时成立。

第 7 题　挑战

下列关于平均值不等式的说法中，正确的是

  1. 对任意实数 a 和 b，都有 a 加 b 的和除以 2 大于等于根号 ab
  2. 对任意非负实数 a 和 b，都有 a 加 b 的和除以 2 大于等于根号 ab，等号当且仅当 a 等于 b 时成立
  3. 只有当 a 和 b 都是正数时，这个不等式才成立
  4. 对任意正数 a 和 b，都有 a 加 b 的和除以 2 大于根号 ab 恒成立
看答案与解析

答案：B

解析：教材说明当 a 或 b 为零时平均值不等式也显然成立，所以它对任意非负实数都成立；若 a 或 b 为负数，根号 ab 可能没有意义，故不能对任意实数使用；a 等于 b 时取等号，所以严格大于的说法也不成立。

第 8 题　挑战

已知 x 大于 0，求证 x 加 x 分之 1 大于等于 2，并指出等号成立的条件

看答案与解析

答案：由平均值不等式得 x 加 x 分之 1 大于等于 2 倍的根号 1 等于 2，当且仅当 x 等于 1 时取等号

解析：因为 x 大于 0，所以 x 与 x 分之 1 都是正数，可以对它们使用平均值不等式，得 x 加 x 分之 1 大于等于 2 倍的根号 1 等于 2。等号当且仅当 x 等于 x 分之 1，结合 x 大于 0 得 x 等于 1。

课标对应

…掌握两个基本概率模型及其应用…

《课程标准》原文节选（mat-2017:G.XY.03）

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