3.1 幂与指数
由 n 次方根与根式引入分数指数幂，把指数从整数推广到实数，并运用同底数幂的三条运算性质与幂的基本不等式进行化简与求值。
这一页讲的是沪教版必修第一册 第3章 幂、指数与对数 · 3.1 幂与指数里的「3.1 幂与指数」，教材要求做到：能按根指数的奇偶判断 n 次方根的个数与符号，写出 n 次根式的值。它不是凭空出现的——要先会「2.3 基本不等式及其应用」、「第3章 幂、指数与对数」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「3.2 对数」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能按根指数的奇偶判断 n 次方根的个数与符号，写出 n 次根式的值
- 能把根式写成有理数指数幂，并用同底数幂的运算性质化简求值
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
求 256 的 4 次方根，下列结果中正确的是
- 4
- 负 4
- 正负 4
- 16
看答案与解析
答案：C
解析：因为 4 的 4 次方等于 256，负 4 的 4 次方也等于 256。n 为偶数时正数的 n 次方根有两个且互为相反数，所以 256 的 4 次方根是正负 4。
第 2 题 基础
求负 64 的立方根，并把结果写成整数
看答案与解析
答案：-4
解析：因为负 4 的 3 次方等于负 64，而 n 为奇数时负数的 n 次方根唯一存在，所以负 64 的立方根是负 4。
第 3 题 基础
化简 3 次根号下 a 的 3 次幂（其中 a 为任意实数）
看答案与解析
答案：a
解析：当根指数为奇数时，n 次根号下 a 的 n 次幂等于 a 本身，无论 a 是正数还是负数都不需要加绝对值，所以结果为 a。
第 4 题 进阶
化简 6 次根号下 a 减 b 的差的 6 次幂（其中 a 小于 b）
- a 减 b
- b 减 a
- a 加 b
- b 的平方减 a 的平方
看答案与解析
答案：B
解析：当根指数为偶数时，n 次根号下 a 的 n 次幂等于 a 的绝对值。这里 a 小于 b，a 减 b 为负数，它的绝对值等于 b 减 a，所以结果是 b 减 a。
第 5 题 进阶
计算 8 的负 2/3 次幂的值
看答案与解析
答案：0.25
解析：8 的 2/3 次幂等于根号 8 的三次方的平方，即 2 的平方等于 4。负指数表示取倒数，所以结果是 4 的倒数，等于 0.25。
第 6 题 进阶
化简 a 的 3 次幂与 4 次根号下 a 的 3 次幂的乘积（其中 a 大于 0）
- a 的 15/4 次幂
- a 的 3/4 次幂
- a 的 9/4 次幂
- a 的 12 次幂
看答案与解析
答案：A
解析：先把 4 次根号下 a 的 3 次幂写成 a 的 3/4 次幂，再按同底数幂相乘指数相加，3 加 3/4 等于 15/4，所以结果是 a 的 15/4 次幂。
第 7 题 挑战
已知 x 大于 0 且 x 的 3/2 次幂等于 1000，求 x 的值
看答案与解析
答案：100
解析：在 x 的 3/2 次幂等于 1000 两边取 2/3 次幂，得 x 等于 1000 的 2/3 次幂，即根号 1000 的三次方的平方，而 1000 的立方根是 10，10 的平方等于 100，所以 x 等于 100。
第 8 题 挑战
用根式形式表示 a 的负 2/5 次幂（其中 a 大于 0）
看答案与解析
答案：1 除以 5 次根号下 a 的平方
解析：负指数先化成正指数的倒数，得 a 的 2/5 次幂的倒数。再由分数指数幂与根式的互化，a 的 2/5 次幂等于 5 次根号下 a 的平方，所以结果是 1 除以 5 次根号下 a 的平方。
课标对应
…知道对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓与指数函数狔＝犪狓互为反函数…
《课程标准》原文节选（mat-2017:G.NR.14）
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