集合相等与空集

数学 ｜ 10年级

理解两个集合相等的含义与判定方法，掌握由元素相同列出方程求参数的基本套路，认识空集是任何集合的子集这一特殊地位，并区分空集与含零元素的集合。

这一页讲的是鄂教版必修第一册 第1章 集合 · 集合相等与空集里的「集合相等与空集」，教材要求做到：能用元素完全相同判定两个集合相等。它不是凭空出现的——要先会「子集与真子集」、「第1章 集合」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「交集运算」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 2 道、进阶 6 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。

掌握标准

先修关系

先修 · 学这页之前先会子集与真子集第1章 集合本知识点集合相等与空集后续 · 学完接着学交集运算

箭头从「先修」指向「本知识点」，再指向「后续」；点节点可跳到对应页面。

诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）

第 1 题　基础

下列集合中，是空集的是

  1. {0}
  2. {x | x²+1=0, x∈R}
  3. {x | x²=0, x∈R}
  4. {∅}
看答案与解析

答案：B

解析：实数的平方非负，方程 x²+1=0 无实数解，故该集合不含任何元素。只含零的集合与含空集作元素的集合都不是空集，元素个数分别为一。

第 2 题　基础

已知集合 A={1,2,3}，B={3,2,1}，则 A 与 B 的关系是

  1. A=B
  2. A 是 B 的真子集
  3. B 是 A 的真子集
  4. A 与 B 的交集为空集
看答案与解析

答案：A

解析：集合的元素具有无序性，书写顺序不影响集合的构成，两个集合元素完全相同，故相等。按顺序不同就判断为不同集合是常见误解。

第 3 题　进阶

已知集合 {a,b} 与集合 {1,2} 相等，则 a+b 的值是

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
看答案与解析

答案：C

解析：两集合相等则元素完全相同，a 与 b 分别是 1 和 2，只是次序可能互换，故和恒为 3。误以为必须 a=1、b=2 会丢掉另一种对应。

第 4 题　进阶

已知集合 A 由方程 x²-5x+6=0 的所有实数根组成，B={2,3}，则 A 与 B 的关系是

  1. A 是 B 的真子集
  2. B 是 A 的真子集
  3. A 与 B 的交集为空集
  4. A=B
看答案与解析

答案：D

解析：解方程得两根 2 与 3，A 用列举法恰为 {2,3}，与 B 元素完全相同，故相等。元素相同就不能再说真包含，真子集要求两集合不相等。

第 5 题　挑战

已知集合 A 由方程 ax-1=0 的所有实数根组成，B 由方程 x²=1 的所有实数根组成，若 A 是 B 的子集，则实数 a 的取值个数是

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
看答案与解析

答案：C

解析：a 为零时 A 为空集，空集是任何集合的子集，符合条件；a 不为零时解为 1 除以 a，令其等于 1 或 -1 得 a=1 或 -1，共 3 个值。漏掉空集情形只答 2 个。

第 6 题　进阶

由方程 x²-4=0 的所有实数根组成的集合中，所有元素之和是

看答案与解析

答案：0

解析：两根为 2 与 -2，互为相反数，和为 0。只取正根会答成 2，属于开平方漏根；这也是两个集合元素能互相抵消的典型情形。

第 7 题　挑战

若集合 A 满足同时包含集合 {1,2} 且被集合 {1,2,3,4} 包含，则这样的集合 A 的个数是

看答案与解析

答案：4

解析：A 必须含 1 和 2，其余可在 3 与 4 中任意选取，每个元素取舍两种选择，故有 2 的 2 次方即 4 个。把 1、2 也当成可选会多算。

第 8 题　挑战

若由方程 x²-2x+a=0 的所有实数根组成的集合是空集，则实数 a 的取值范围是

看答案与解析

答案：a>1

解析：集合为空集说明方程无实数根，判别式 4-4a 小于零，解得 a 大于 1。写成大于等于一会把只有一个元素的情形也算进来，边界必须开。

课标对应

理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集

《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.05）

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