子集与真子集
理解子集与真子集的概念，会用符号表示集合之间的包含关系，掌握含 n 个元素的集合其子集与真子集个数的计算方法，并能由包含关系反求参数的取值范围。
这一页讲的是鄂教版必修第一册 第1章 集合 · 子集与真子集里的「子集与真子集」，教材要求做到：能判断两个集合之间的包含或真包含关系。它不是凭空出现的——要先会「集合的表示方法二」、「第1章 集合」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「集合相等与空集」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能判断两个集合之间的包含或真包含关系
- 能由元素个数算出子集与真子集的个数
- 能由包含关系列出参数应满足的不等式并求解
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
集合 {1,2} 的子集个数是
- 2
- 3
- 4
- 5
看答案与解析
答案：C
解析：子集包括空集、{1}、{2} 与 {1,2} 共 4 个，也等于 2 的 2 次方。只数含元素的子集会漏掉空集，只数真子集则会少一个。
第 2 题 基础
下列关系式中正确的是
- ∅⊆{0}
- 0⊆{0}
- ∅∈{0}
- {∅}⊆{0}
看答案与解析
答案：A
解析：空集是任何集合的子集，故包含关系成立。零是元素不是集合，不能对集合用包含符号；空集也不属于以零为元素的集合，含空集的集合更不可能是其子集。
第 3 题 进阶
集合 {1,2,3} 的真子集个数是
- 6
- 7
- 8
- 9
看答案与解析
答案：B
解析：三个元素共 8 个子集，真子集要排除集合自身，故为 7 个。答 8 是把子集与真子集混同，答 6 则连空集一起漏掉了。
第 4 题 进阶
已知集合 A={1,a}，B={1,2,3}，且 A 是 B 的子集，则 a 的取值个数是
- 1
- 3
- 4
- 2
看答案与解析
答案：D
解析：A 已含元素 1，只要 a 取 B 中除 1 外的元素即可，故 a 可为 2 或 3，共 2 个值。把 a 允许等于 1 会破坏元素的互异性。
第 5 题 挑战
已知集合 A 由满足 -1<x<3 的所有实数组成，B 由满足 x<a 的所有实数组成，若 A 是 B 的子集，则实数 a 的取值范围是
- a<3
- a≤3
- a≥3
- a>3
看答案与解析
答案：C
解析：A 中所有数都要小于 a，而 A 能无限接近 3 但取不到，因此只要 a 不小于 3 即可，含等号。把边界写成严格大于会漏掉 a=3 这一临界情形。
第 6 题 基础
由三个互不相同的元素 a、b、c 组成的集合，其子集的个数是
看答案与解析
答案：8
解析：每个元素都有取与不取两种选择，三个元素共有 2 的 3 次方即 8 个子集，其中包含空集与集合自身。逐个枚举也可得 1+3+3+1。
第 7 题 进阶
集合 {1,2,3,4} 的真子集个数是
看答案与解析
答案：15
解析：四个元素共 16 个子集，去掉与原集合相等的那一个，真子集为 15 个。忘记减一会直接答成 16，把空集也去掉则会答成 14。
第 8 题 进阶
写出集合 {1,2} 的所有真子集
看答案与解析
答案：∅,{1},{2}
解析：真子集要求不等于原集合，从四个子集中去掉 {1,2}，剩下空集、只含 1 的集合与只含 2 的集合。漏写空集是最常见的不完整情形。
课标对应
在具体情境中，了解全集与空集的含义
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.04）
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