集合的表示方法二
学习描述法，用元素的共同特征刻画集合，理解代表元素与条件之间的对应关系，能在描述法与列举法之间相互转化，并能依据只有一个元素的条件讨论方程中参数的取值。
这一页讲的是鄂教版必修第一册 第1章 集合 · 集合的表示方法二里的「集合的表示方法二」，教材要求做到：能把列举法表示的集合改写成准确的描述法形式。它不是凭空出现的——要先会「集合的表示方法一」、「第1章 集合」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「子集与真子集」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 4 道、进阶 4 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能把列举法表示的集合改写成准确的描述法形式
- 能读懂描述法中代表元素的范围与限制条件
- 能由集合只有一个元素讨论二次项系数是否为零
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
所有大于一的实数组成的集合用描述法表示为
- {x | x>1}
- {x | x≥1}
- {x>1}
- {1,x>1}
看答案与解析
答案：A
解析：描述法要在竖线前写代表元素，竖线后写满足的条件。大于一不含一，故用严格大于；写成大括号里只有条件或缺代表元素都不合规范。
第 2 题 基础
集合 {1,2,3,4,5} 用描述法可表示为
- {x | 1<x<5}
- {x∈N* | x≤5}
- {x∈N | x<5}
- {x | x<5}
看答案与解析
答案：B
解析：集合为正整数 1 到 5，用正整数集加不超过五刻画恰好对应。正整数有限制但取严格小于五会漏掉 5，用自然数集又会多出零。
第 3 题 进阶
集合 {2,4,6,8} 用描述法可表示为
- {x | x=2n, n∈N*}
- {x | x=2n, n∈N, n≤4}
- {x∈N* | x是偶数且x<10}
- {x | x=2n, 1≤n≤3}
看答案与解析
答案：C
解析：小于十的正偶数正是 2、4、6、8。只写 n 属于正整数会得到无限多个偶数，用自然数且 n 不超过四会多出零，n 只取一到三则漏掉 8。
第 4 题 进阶
小于十的所有质数组成的集合用列举法表示为
- {1,3,5,7}
- {2,3,5,7,9}
- {3,5,7}
- {2,3,5,7}
看答案与解析
答案：D
解析：质数是大于一且只有两个正因数的自然数，小于十的有 2、3、5、7。1 不是质数，9 等于三乘三也不是质数，两者都是常见误收对象。
第 5 题 挑战
已知集合 A 由一个关于 x 的方程 ax²+2x+1=0 的解组成，若 A 中只有一个元素，则实数 a 的值是
- 0
- 0 或 1
- 1
- 0 或 -1
看答案与解析
答案：B
解析：系数 a 为零时方程退化为一次方程，解为 -1/2，恰有一个元素；a 不为零时令判别式 4-4a 等于零得 a=1。两类情形都要保留，只答 1 会漏解。
第 6 题 基础
由满足 x²<5 的所有整数组成的集合中，元素的个数是
看答案与解析
答案：5
解析：平方小于五的整数满足绝对值小于约 2.24，即 -2、-1、0、1、2，共 5 个。只数正整数或漏掉零都会少算，端点不是整数要注意。
第 7 题 进阶
已知集合 A 由所有满足 x=2n+1 且 n∈N、n≤3 的 x 组成，则 A 中元素的个数是
看答案与解析
答案：4
解析：n 依次取 0、1、2、3，得到 1、3、5、7 四个奇数，互不相同。把 n 的取值误当成 x 的取值，或多取到 4，都会算错个数。
第 8 题 基础
由方程 x²=9 的所有实数根组成的集合用列举法表示为
看答案与解析
答案：{-3,3}
解析：开平方要取正负两个根，得 -3 与 3，按从小到大列举。只写 3 属于漏解，把根写成 9 的平方形式则没有真正求出元素。
课标对应
能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.02）
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