1.3 集合的基本运算

数学 ｜ 10年级

在并集、交集、补集三个运算的基础上，能借助 Venn 图与数轴求两个集合的并、交、补的结果，会用集合运算表示实际问题中的数量关系，会用容斥关系计算元素的个数。

这一页讲的是必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 · 1.3 集合的基本运算里的「1.3 集合的基本运算」，教材要求做到：能借助数轴或Venn图求出两个集合的并集、交集与补集。它不是凭空出现的——要先会「1.2 集合间的基本关系」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「1.3.1 并集、交集」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 4 道、进阶 4 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。

掌握标准

先修关系

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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）

第 1 题　基础

已知集合 A={1,2,3}，B={3,4,5}，则 A∩B 等于（　）

  1. {1,2}
  2. {3}
  3. {1,2,3,4,5}
  4. {4,5}
看答案与解析

答案：B

解析：交集由既属于 A 又属于 B 的元素组成。两个集合只有 3 是公共元素，所以 A∩B={3}，其余元素只属于其中一个集合。

第 2 题　进阶

设全集 U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,4}，则 (∁UA)∪B 等于（　）

  1. {2,4}
  2. {1,3,5}
  3. {1,2,3,4,5}
  4. ∅
看答案与解析

答案：A

解析：先求补集 ∁UA={2,4}，再与 B={2,4} 求并集，结果仍为 {2,4}。因为 B 恰好就是 A 在 U 中的补集。

第 3 题　基础

设 A={x | x>1}，B={x | x≤3}，则 A∪B = ____。

看答案与解析

答案：R（全体实数）

解析：在数轴上，x>1 与 x≤3 正好覆盖整条数轴，任何实数至少满足其中一个条件，所以并集是全体实数 R。

第 4 题　基础

已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，则 A∪B 中元素的个数是（　）

看答案与解析

答案：5

解析：A∪B={1,2,3,4,6}，共 5 个元素。也可用容斥关系计算：4+3−2=5，其中 2 是公共元素的个数。

第 5 题　进阶

某班 40 人，参加数学竞赛的有 18 人，参加物理竞赛的有 15 人，两项都参加的有 6 人，求至少参加一项竞赛的人数。

看答案与解析

答案：至少参加一项的有 27 人。

解析：把参赛学生看作两个集合的并集，公共部分被算了两次，必须减掉一次。18+15−6=27，与全班 40 人相比还有 13 人两项都没参加。

第 6 题　基础

已知集合 M={0,1,2}，N={2,3}，则 M∪N 中所有元素的和是多少？

看答案与解析

答案：6

解析：M∪N 是由属于 M 或属于 N 的所有元素组成的集合，公共元素 2 由于集合元素的互异性只能写一次，所以 M∪N={0,1,2,3}。这些元素的和是 0+1+2+3=6。若把公共元素 2 重复算一次得到 8，就是忽略了集合中元素不能重复这一性质。

第 7 题　进阶

已知集合 A={x | 1<x<4}，B={x | x≤a}，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是（　）

  1. a<4
  2. a≤1
  3. a>1
  4. a≥4
看答案与解析

答案：D

解析：A⊆B 表示 A 中每一个元素都在 B 中，即所有满足 1<x<4 的 x 都要满足 x≤a，因此 a 不能小于 A 中的任何一个数，必须 a≥4。若 a<4，取 A 中满足 a<x<4 的数（如 x=(a+4)/2），它就不属于 B，包含关系不成立。画数轴可以直观看出 B 要盖住整个区间 (1,4)。

第 8 题　挑战

某班共有 45 名学生，其中参加数学兴趣小组的有 25 人，参加物理兴趣小组的有 20 人，两个小组都参加的有 10 人。求至少参加一个小组的人数和两个小组都没有参加的人数。

看答案与解析

答案：至少参加一个小组的有 35 人，两个小组都没有参加的有 10 人。

解析：设参加数学小组的学生组成集合 A，参加物理小组的组成集合 B，则 card(A)=25，card(B)=20，card(A∩B)=10。根据容斥关系 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=25+20-10=35，即至少参加一个小组的有 35 人。全班共 45 人，所以两个小组都没有参加的有 45-35=10 人。这 10 名同学在两个小组中都被数了一次，因此要减去。

课标对应

理解集合的基本关系与基本运算

《课程标准》原文（mat-2017:G.XY.01）

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