1.1 集合初步
理解集合元素的确定性与互异性，能用列举法、描述法或区间表示集合，会判断子集与真子集关系，并用交、并、补进行集合运算。
这一页讲的是沪教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 · 1.1 集合初步里的「1.1 集合初步」，教材要求做到：能判断一组对象能否组成集合，并分清有限集与无限集。它不是凭空出现的——要先会「第1章 集合与逻辑」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「1.2 常用逻辑用语」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能判断一组对象能否组成集合，并分清有限集与无限集
- 能用列举法、描述法或区间表示给定的集合
- 能判断集合间的包含关系，并正确求交集、并集与补集
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列关于集合中元素的说法正确的是
- 同一个集合中的各个元素是互不相同的
- 集合中的元素必须按从小到大的顺序排列
- 由 1、2 组成的集合与由 2、1 组成的集合是两个不同的集合
- 同一个元素可以在一个集合中重复出现
看答案与解析
答案：A
解析：教材指出一个给定集合中的各个元素是互不相同的，同一个元素不能在同一集合中重复出现；讨论集合时不考虑元素的顺序，所以由 1、2 组成的集合与由 2、1 组成的集合是同一个集合。
第 2 题 基础
用列举法写出所有不大于 10 的正整数组成的集合，这个集合中元素的个数是多少
看答案与解析
答案：10
解析：所有不大于 10 的正整数是 1 到 10，把它们不重复地列举出来共 10 个数，所以这个有限集中元素的个数是 10。
第 3 题 进阶
被 3 除余 2 的所有自然数组成的集合，下列表示方法正确的是
- {2, 5, 8}
- {n 满足 n = 3k + 2，k 是自然数}
- {x 满足 x = 3k - 2，k 是整数}
- {3k + 2}
看答案与解析
答案：B
解析：被 3 除余 2 的自然数可以统一写成 3k 加 2 的形式，其中 k 是自然数，因此用描述法写成由 n 组成的集合，n 满足这个共同特征；只列三个数不能表示无限集，3k 减 2 的表示与题意不符，只写式子的写法没有说明元素范围。
第 4 题 进阶
已知一个集合由 1、2、3 三个元素组成，则这个集合的所有子集的个数是多少
看答案与解析
答案：8
解析：按子集所含元素的个数分类：不含元素的子集 1 个，含 1 个元素的 3 个，含 2 个元素的 3 个，含 3 个元素的 1 个，合计 8 个，其中包含空集和这个集合本身。
第 5 题 基础
用区间表示满足大于负 1 且小于或等于 5 的所有实数组成的集合
看答案与解析
答案：(-1, 5]
解析：左端点负 1 取不到，用圆括号；右端点 5 取得到，用方括号。所以这个集合是左开右闭区间，写作 (-1, 5]。
第 6 题 挑战
设全集由 a、b、c、d、e 五个元素组成，集合 A 由 a、b、c 组成，集合 B 由 c、d 组成，则 A 在全集中的补集与 B 在全集中的补集的交集是
- {c}
- {d, e}
- {e}
- {a, b}
看答案与解析
答案：C
解析：先分别求补集：A 的补集由 d、e 组成，B 的补集由 a、b、e 组成。两个补集的公共元素只有 e，所以它们的交集是由 e 组成的集合。
第 7 题 进阶
设全集是实数集，集合由大于负 2 且小于或等于 1 的所有实数组成，则这个集合的补集用区间表示是
看答案与解析
答案：(-∞, -2] ∪ (1, +∞)
解析：在实数集中去掉大于负 2 且不超过 1 的数，剩下小于或等于负 2 的数以及大于 1 的数，这两个部分合起来就是所求补集。
第 8 题 挑战
已知集合 A 由 1、2 组成，若 A 与 B 的并集由 1、2、3 组成，则满足条件的集合 B 的个数是
- 2
- 3
- 5
- 4
看答案与解析
答案：D
解析：B 的元素只能从 1、2、3 中取；为使并集中出现 3，3 必须属于 B。而 1 与 2 是否属于 B 都不影响并集，各有两种选择，所以满足条件的 B 共有 4 个。
课标对应
…了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系…
《课程标准》原文节选（mat-2017:G.NR.01）
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