集合的概念与元素
认识集合与元素的概念，理解元素的确定性、互异性与无序性，会用属于与不属于符号表示元素与集合的关系，并认识常用数集 N、N*、Z、Q、R 的记号及含义。
这一页讲的是鄂教版必修第一册 第1章 集合 · 集合的概念与元素里的「集合的概念与元素」，教材要求做到：能依据确定性判断一组对象能否组成集合。它不是凭空出现的——要先会「第1章 集合」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「集合的表示方法一」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 3 道、进阶 5 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能依据确定性判断一组对象能否组成集合
- 能用属于符号正确表述元素与集合的关系
- 能由元素在集合中推出参数取值并检验互异性
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列各组对象中，可以组成集合的是
- 我国的所有小河流
- 接近零的实数
- 方程 x²-1=0 的实数根
- 学习好的同学
看答案与解析
答案：C
解析：方程 x²-1=0 的实数根只有 1 与 -1，判定标准明确，可以组成集合。小河流、接近零、学习好都是模糊描述，不满足元素的确定性。
第 2 题 基础
实数 √2 与有理数集 Q 之间的关系，用符号表示正确的是
- √2∈Q
- √2∉Q
- √2⊆Q
- Q∈√2
看答案与解析
答案：B
解析：√2 是无理数，不属于有理数集，故用不属于符号。子集符号只能连接两个集合，写成 √2⊆Q 是把元素当成了集合，属于层次错误。
第 3 题 进阶
已知集合 A={0,1,x}，且 x²∈A，则实数 x 的值是
- -1
- 1
- 0
- 1 或 -1
看答案与解析
答案：A
解析：由 x² 属于 A 分三种情形讨论，x²=0 与 x²=1 分别给出 x=0、x=1，都会使集合中的元素重复，被互异性排除；x²=x 同样只给出重复解，故只剩 x=-1。
第 4 题 进阶
下列关系式中，正确的是
- 0∈N*
- -3∈N
- 1/2∈Z
- √2∈R
看答案与解析
答案：D
解析：N* 是正整数集不含零，N 是非负整数集不含负数，Z 是整数集不含分数，只有 √2 属于实数集 R 成立。混淆数集符号的范围是常见错误。
第 5 题 挑战
已知集合 A={a+2,(a+1)²,a²+3a+3}，且 1∈A，则实数 a 的值是
- 1
- 0
- 2
- -1
看答案与解析
答案：B
解析：分三种情形令三个元素分别等于 1：a=-1 时集合出现两个 1，a=-2 时同样重复，都被互异性排除；只有 a=0 得元素 2、1、3 互不相等，故 a=0。
第 6 题 基础
若集合 A 由满足 x²<20 的所有正整数组成，则 A 中元素的个数是
看答案与解析
答案：4
解析：逐个检验正整数，1、2、3、4 的平方分别为 1、4、9、16 都小于 20，而 5 的平方为 25 已超过，故元素为 1、2、3、4 共 4 个。
第 7 题 进阶
已知集合 A={1,a,a+2}，若 3 是 A 的元素，则 a 的值是
看答案与解析
答案：3
解析：若 a=3，集合为 1、3、5 三元素互异，符合要求；若 a+2=3 得 a=1，此时集合中 1 重复出现，违背互异性应舍去，所以 a=3。
第 8 题 挑战
用列举法表示由 6 的所有正因数组成的集合
看答案与解析
答案：{1,2,3,6}
解析：按因数成对出现逐一检查，能整除 6 的正整数为 1、2、3、6，四个元素互不相同，用大括号并按从小到大排列写出。漏掉 1 或把 6 本身漏掉是最常见的错误。
课标对应
了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.01）
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