1.3.2 补集

数学 ｜ 10年级

在具体情境中了解全集与空集的含义，理解集合 A 相对于全集 U 的补集的定义，会用符号 ∁UA 表示补集，能借助 Venn 图求给定子集的补集并解决简单的实际问题。

这一页讲的是必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 · 1.3.2 补集里的「1.3.2 补集」，教材要求做到：能在给定全集下正确求出子集的补集。它不是凭空出现的——要先会「1.3.1 并集、交集」，这一页才读得顺。学完之后，它会直接支撑「1.4 充分条件与必要条件」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 4 道、进阶 4 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。

掌握标准

先修关系

先修 · 学这页之前先会1.3.1 并集、交集本知识点1.3.2 补集后续 · 学完接着学1.4 充分条件与必要条件

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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）

第 1 题　基础

设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,2,3}，则 ∁UA 等于（　）

  1. {1,2,3}
  2. {1,2,3,4,5,6,7,8}
  3. {4,5,6,7}
  4. {4,5,6,7,8}
看答案与解析

答案：D

解析：补集由全集 U 中不属于 A 的元素组成，把 1、2、3 从 U 中去掉，剩下 4、5、6、7、8，所以 ∁UA={4,5,6,7,8}。

第 2 题　进阶

设全集 U=R，A={x | x<2}，则 ∁UA 等于（　）

  1. {x | x>2}
  2. {x | x≤2}
  3. {x | x≥2}
  4. {x | x<2}
看答案与解析

答案：C

解析：补集要包含 U 中所有不属于 A 的实数，x<2 的反面是 x≥2，端点 2 本身不在 A 中，所以必须取到 2，用 ≥ 而不是 >。

第 3 题　基础

设 U={1,2,3,4}，A={2,4}，则 ∁UA = ____。

看答案与解析

答案：{1,3}

解析：从全集 U 中删去 A 的元素 2 和 4，剩下的 1 和 3 组成的集合就是 A 在 U 中的补集。

第 4 题　进阶

设 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A={2,4,6,8,10}，B={1,3,5}，则 ∁U(A∪B) 中元素的个数是（　）

看答案与解析

答案：2

解析：A∪B 共有 5+3=8 个元素（两集合无公共元素），它们在 U 中的补集由剩下的 7、9 组成，共 10−8=2 个。

第 5 题　进阶

对任意集合 A⊆U，说明为什么 ∁U(∁UA)=A 成立。

看答案与解析

答案：连续取两次补集会回到原来的集合。

解析：补集运算是在全集内部做“取反”。第一次取反得到不属于 A 的元素，第二次再对这些元素取反，就又回到 A，这体现了补集运算的对合性。

第 6 题　基础

设全集 U={x∈N | x≤6}，A={1,3,5}，则 ∁UA 等于（　）

  1. {2,4,6}
  2. {0,2,4}
  3. {0,1,2,4,6}
  4. {0,2,4,6}
看答案与解析

答案：D

解析：补集是全集 U 中所有不属于 A 的元素。U 是从 0 到 6 的七个自然数，从中去掉 1、3、5 后剩下 0、2、4、6，所以 ∁UA={0,2,4,6}。最易错的是漏掉 0：0 是自然数、确实在 U 中，且不属于 A，必须保留。

第 7 题　基础

设全集 U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,3,5}，写出 ∁U(A∩B)，并判断它与 (∁UA)∪(∁UB) 是否相等。

看答案与解析

答案：∁U(A∩B)={1,2,4}，它与 (∁UA)∪(∁UB) 相等。

解析：A∩B 是同时属于 A、B 的元素 3 和 5，从全集 U 中去掉这两个数剩下 1、2、4，故 ∁U(A∩B)={1,2,4}；另一方面 ∁UA={2,4}，∁UB={1,4}，取并集仍为 {1,2,4}。两者相等，正说明「交的补等于补的并」，在 Venn 图上就是两块补集阴影拼成同一块区域。

第 8 题　进阶

设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则 ∁U(A∪B) 等于（　）

  1. {1,2,5,6}
  2. {7,8}
  3. {7,8,9}
  4. {5,6,7,8,9}
看答案与解析

答案：C

解析：先求并集 A∪B={1,2,3,4,5,6}，再从 U 中去掉这六个元素，剩下 {7,8,9}。选项 A 只把两边各自独有的元素拼起来，位置判断错了；选项 B 漏掉 9，说明没有把全集中的每个元素都检查一遍。也可用「并的补等于补的交」即 ∁UA∩∁UB={7,8,9}∩{1,2,7,8,9} 复算，结果一致。

课标对应

理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集

《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.07）

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