1.1 集合的概念
借助生活与数学中的实例体会集合与元素的含义，知道集合中元素的确定性、互异性与无序性，认识 N、N*、Z、Q、R 等常用数集，会用列举法与描述法表示集合，会用符号 ∈、∉ 表达元素与集合的关系。
这一页讲的是必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 · 1.1 集合的概念里的「1.1 集合的概念」，教材要求做到：能判断一组对象能否组成集合，并指出其中的元素。学完之后，它会直接支撑「1.2 集合间的基本关系」。下面配了 8 道诊断题，其中基础 4 道、进阶 4 道，答案与解析全部公开；先自己做一遍，再对照解析找断点。
掌握标准
- 能判断一组对象能否组成集合，并指出其中的元素
- 能用列举法或描述法正确表示一个简单的集合
先修关系
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诊断题（共 8 道，答案与解析全公开）
第 1 题 基础
下列各组对象中，能够组成一个集合的是（ ）
- 所有大于3且小于10的偶数
- 某班所有个子较高的同学
- 所有与1非常接近的实数
- 某校所有有趣的课外活动
看答案与解析
答案：A
解析：集合中的元素必须具有确定性，即任给一个对象都能判断它是否属于该集合。个子较高、非常接近、有趣都缺少明确的判定标准，因此不能组成集合。
第 2 题 进阶
集合 A={x∈N | x<4} 用列举法表示，结果是（ ）
- {1,2,3}
- {0,1,2,3,4}
- {1,2,3,4}
- {0,1,2,3}
看答案与解析
答案：D
解析：由 x∈N 知 x 是非负整数，又 x<4，所以 x 依次取 0、1、2、3。注意 0 属于自然数集不能漏掉，而 4 不满足 x<4 也不能取。
第 3 题 基础
用符号 ∈ 或 ∉ 填空：−3 ____ Z（Z 表示整数集）。
看答案与解析
答案：∈
解析：−3 是负整数，而 Z 表示全体整数组成的集合，所以 −3 是 Z 的元素，记作 −3∈Z。
第 4 题 基础
集合 B={x∈Z | −2<x≤3} 中元素的个数是（ ）
看答案与解析
答案：5
解析：满足 −2<x≤3 的整数依次是 −1、0、1、2、3，共 5 个。左端点 −2 不取，右端点 3 取，所以个数为 3−(−2)=5。
第 5 题 进阶
已知集合 A={1,2,a}，若 3∈A，求 a 的值，并说明元素互异性在本题中的作用。
看答案与解析
答案：a=3；由互异性知 a 不能取 1 或 2，故只能 a=3。
解析：3 属于 A，说明 a 的值就是 3；同时集合中元素必须互不相同，若 a 取 1 或 2 就会与已有元素重复，因此必须舍去。
第 6 题 基础
用列举法表示集合 A={x∈N | x^2<10}，则 A=____。
看答案与解析
答案：{0,1,2,3}
解析：N 表示自然数集，其中包含 0。逐个检验：0^2=0、1^2=1、2^2=4、3^2=9 都小于 10，而 4^2=16 已经不满足条件，所以满足条件的自然数只有 0、1、2、3，用列举法写成 {0,1,2,3}。最常见的错误是漏掉 0，或者把负整数也写进去。
第 7 题 进阶
已知集合 A={x∈Z | 12/x∈Z}，则集合 A 中元素的个数是多少？
看答案与解析
答案：12
解析：由 12/x 是整数且 x 是整数可知，x 必须是 12 的整数因数。正因数有 1、2、3、4、6、12 共 6 个，负因数有 -1、-2、-3、-4、-6、-12 共 6 个，合计 12 个，所以集合 A 中有 12 个元素。题目给的是 Z 而不是 N*，因此负因数不能漏掉，这是本题的主要失分点。
第 8 题 挑战
已知集合 A={x | ax^2+2x+1=0} 中只有一个元素，则实数 a 的取值是（ ）
- 1
- 0
- 0 或 1
- 0 或 -1
看答案与解析
答案：C
解析：集合中只有一个元素，说明方程 ax^2+2x+1=0 只有一个实数根，要按 a 是否为 0 分类讨论。当 a=0 时方程变成一次方程 2x+1=0，只有一个根 x=-1/2；当 a≠0 时是二次方程，有两个相等实根须判别式 4-4a=0，得 a=1。两种情况都符合，所以 a=0 或 a=1。漏掉 a=0 是本题最典型的错误。
课标对应
了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系
《课程标准》原文（mat-2017:G.NR.01）
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