九年级上册 圆
单元内容概览
本单元是人教版义务教育数学九年级上册第二十九章《圆》。圆是初中阶段学习的随后一种基本平面图形，也是几何研究的又一重要对象。围绕一个圆，教材从确定圆的要素圆心和半径出发，逐步研究了点与圆、线段与圆、角与圆之间的位置关系和数量关系，形成了圆的有关概念、圆的有关性质、弧长和扇形面积等较为完整的知识系统。本单元共安排12课时，涵盖圆的认识与有关概念、过三点的圆与三角形外接圆、反证法、垂径定理、圆心角与圆周角、圆内接四边形、弧长与扇形面积以及综合应用等内容，并通过《探究与发现》等宽曲线、《数学活动》等分圆周等板块渗透数学文化，增强几何直观，发展推理能力。学生在学习中将借助画图、折纸、旋转、测量等操作活动，经历从观察发现到逻辑证明的完整过程，体会数形结合、类比、转化等思想方法的运用。
单元学习目标
- 单元目标之一是学生会用数学的眼光观察现实世界。学生能够从车轮、满月、拱桥、排水管、扇面等生活实物中发现圆的图形，抽象出圆、圆心、半径、弦、弧等几何对象，用点的集合刻画圆，用犱与狉的大小比较刻画点与圆的位置关系，进而类比得出直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离与半径比较确定。学生能够观察折纸、旋转后的图形特征，发现圆的轴对称性和旋转对称性，体会圆的性质源于对…
- 单元目标之二是学生会用数学的思维思考现实世界。学生能够经历从特殊到一般、从直观到论证的探究过程，结合折纸、旋转、测量等活动提出关于垂径定理、圆心角定理、圆周角定理的猜想，并通过添加辅助线、分类讨论、反证法等方法完成证明。学生能够借助圆周角的三种位置情形体会转化思想，能够应用勾股定理、三角形知识和圆的有关性质进行运算与说理。在求赵州桥主桥拱半径、判定圆内接四边…
- 单元目标之三是学生会用数学的语言表达现实世界。学生能够用规范的符号表示圆、弧、圆心角、圆周角，用数学语言准确描述垂径定理、圆周角定理及其推论，书写条理清晰的证明过程。学生能够把拱桥、弯管、排水管、毡房等实际问题转化为求半径、求弧长、求扇形面积的数学问题，用公式犾＝狀π犚１８０、犛＝狀π犚２３６０和犛＝１２犾犚加以表达，并解释计算结果的现实意义。在交流中，学生…
- 学生能够在小组操作与交流中经历圆的定理的形成过程，学会用折纸、旋转、测量、作图等多种方式探索图形性质，掌握从特殊情形入手再推广到一般情形的证明策略。学生能够运用数形结合、类比、转化的思想方法，把新问题与已学知识相联系，提升分析问题和解决问题的能力，增强参与数学活动的主动性和合作意识。通过绘制以对称性为主线的知识结构图，学生把概念、定理与公式组织成结构化的认知…
- 学生能够体会圆在生活、艺术和传统文化中的象征意义，感受《墨子》“圆，一中同长也”和毕达哥拉斯对圆的赞美所蕴含的数学之美，认识等宽曲线、莱洛三角形和等分圆周等探究活动的实际应用价值。学生能在探究与证明中体会图形的对称与和谐之美，养成严谨求实的科学态度，增强学好数学的自信心和对中华优秀传统文化的认同感。在运用圆的有关知识解决生活问题与创作图案的过程中，学生体会学…
教学重点
- 圆心和半径确定圆，掌握圆、弦、弧等概念。
- 垂径定理、圆周角定理及推论的理解与应用。
- 弧长与扇形面积公式的熟练运用。
教学难点
- 用点的集合理解圆，正确表示优弧与劣弧。
- 添加辅助线证明圆周角定理并处理三种情形。
- 把实际问题转化为弧长、扇形面积的计算。
课时安排（12 课时）
- 第一课时 认识圆及其有关概念
- 第二课时 研究点与圆的位置关系
- 第三课时 学习过三点的圆和三角形的外接圆
- 第四课时 建立圆的有关概念
- 第五课时 学生通过沿直径对折确认圆是轴对称图形
- 第六课时 应用垂径定理解决拱桥等实际问题
- 第七课时 学生通过绕圆心旋转确认圆是旋转对称图形
- 第八课时 圆周角及其定理学习目标：理解圆周角的概念
- 第九课时 圆周角定理的推论与应用学习目标：掌握同弧或等弧所
- 第十课时 深入探究圆的有关性质
- 第十一课时 学习弧长和扇形面积公式
- 第十二课时 进行圆锥侧面积与全章整合复习
教学过程（节选）
学习目标：认识圆，理解圆、圆心、半径的概念，会用符号表示圆；理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等概念。评价任务：能结合图形指出圆心、半径、直径、弦与弧，判断给出的对象是否属于相应的概念。学习活动：观察车轮、满月、月饼等实物图片，认识圆的形象；用绳子一端固定另一端旋动画圆，从点运动的角度描述圆的形成；阅读教材归纳圆是到定点距离等于定长的点的集合；结合图形分类认识弦、直径、优弧、劣弧等概念，完成书中习题。一致性映射：观察画圆建立集合观点对应会观察，概念辨认对应会表达。板书设计：圆、圆心、半径、圆上点距圆心相等、弦、直径、弧、优弧劣弧、等圆等弧。分层作业：基础题辨认图形中的弦与弧；提高题判断点与圆的位置关系；拓展题用圆规设计对称图案。
学习目标：理解点在圆外、点在圆上、点在圆内三种位置关系，会用圆心到点的距离犱与半径狉的大小关系判断点的位置。评价任务：能根据犱与狉的比较正确说出点的位置，能把实际问题转化为判断点与圆的位置关系。学习活动：观察平面被圆分成的三个部分，归纳点与圆的三种位置关系；用直尺量出若干点到圆心的距离并与半径比较，得出犱＞狉、犱＝狉、犱＜狉的判定方法；共同完成矩形对角线交于一点、四点在同圆上的证明，体会确定圆的方法。一致性映射：位置判定用数与形结合，落实数形结合素养。板书设计：点在圆外犱＞狉、点在圆上犱＝狉、点在圆内犱＜狉、四点共圆判定。分层作业：基础题判断各点到圆心的距离对应位置；提高题证明直角三角形三顶点共圆；拓展题探究多个点在圆上的条件。
学习目标：理解经过一点或两点可作无数个圆，掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，认识三角形的外接圆与外心。评价任务：能用尺规作出经过三点的圆，说出三角形的外心得法，说出外心到三顶点距离相等。学习活动：分组探讨经过一个点、两个点作圆的个数，归纳圆心在垂直平分线上的特点；经过不在同一直线上的三点作圆，通过作两条垂直平分线确定圆心；阅读教材得出三角形的外接圆与外心的概念；独立完成等边三角形外接圆的作图并求半径。一致性映射：尺规作圆与确定圆心对应空间观念与操作能力。板书设计：不在同一直线三点确定一个圆、垂直平分线交点、外接圆、外心、内接三角形。分层作业：基础题作出已知三角形外接圆；提高题求边长为2的等边三角形外接圆半径；拓展题探究外心在图中的位置特点。
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