选择性必修第三册 导数及其应用
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能从位移、成本、温度、血药浓度等具体情境中抽象出平均变化率的概念，经历由平均变化率到瞬时变化率再到导数的抽象过程，理解导数的定义及其实际意义，能用数学的语言刻画函数变化的快慢。通过数学抽象的完整经历，学生能自觉地把实际问题转化为导数问题，把握变化率的本质属性，理解数学抽象在概念形成中的基础作用，形成从具体到一般的抽象概括能力。目标达成表现为：学生能用自己…
- 在解决含参数问题时，学生能按参数的取值分类讨论，完整表述推理过程，通过逻辑推理素养的提升，养成严谨求实的科学态度。目标达成表现为：学生能独立完成导数公式与法则的推导，能清晰说明每一步推理的依据，能在含参讨论中做到分类标准明确、结论表述完整，能对同学的推理过程进行评价与质疑。 （三）数学建模目标 学生能经历描述体重与脉搏率关系的数学建模活动，完整经历发现问题、…
- 目标达成表现为：学生能完成一份规范的建模报告，能说明模型假设的依据与模型的适用范围，能对模型结果作出合理解释，体会数学建模从现实到数学再到现实的完整过程。 （四）直观想象与数学运算目标 学生能借助函数图象直观理解导数的几何意义，通过割线逼近切线的动态过程建立直观想象与代数表达的联系，能利用图象分析函数的单调性、极值与最值；能熟练运用基本初等函数的导数公式与和…
- （五）数据分析目标 学生能对血药浓度数据、动物体重与脉搏率数据等进行收集、整理与描述，通过计算平均变化率分析数据的变化趋势，体会数据分析在理解实际问题中的作用；在数学建模活动中，能利用部分或全部数据估计模型参数，通过数据分析检验模型的合理性，理解数据对模型的支撑与修正作用。学生通过数据分析素养的发展，初步形成用数据说话、用数据决策的意识。目标达成表现为：学生…
教学重点
- 理解导数的概念及其几何意义，掌握基本初等函数的导数公式。
- 掌握和差积商及复合函数的求导法则，能正确求导。
- 能利用导数研究函数的单调性、极值与最值，解决最优化问题。
教学难点
- 理解导数定义中极限思想的本质，体会以直代曲逼近的过程。
- 掌握含参数函数单调性与极值的分类讨论方法。
- 能建立实际问题的函数模型，并利用导数求得最优解。
课时安排（16 课时）
- 第一课时 函数的平均变化率
- 第二课时 学习函数的平均变化率与以直代曲
- 第三课时 为例：通过汽车速度表与自由落体情境认识瞬时速度
- 第四课时 导数的几何意义
- 第五课时 学习基本初等函数的导数
- 第六课时 函数和差积商的求导法则
- 第七课时 复合函数的求导法则
- 第八课时 学习导数与函数的单调性
- 第九课时 含参函数的单调性讨论
- 第十课时 导数与函数的极值
- 第十一课时 学习函数的极值与最值
- 第十二课时 解决最优化问题
- 第十三课时 导数与函数图象的综合应用
- 第十四课时 开展数学建模活动
- 第十五课时 进行单元复习与知识整合
- 第十六课时 单元综合测评与反思
教学过程（节选）
本课时围绕如何刻画函数变化的快慢展开。首先以他克莫司血药浓度数据为情境，提出问题：在[0.5，1]和[1，1.5]两个时间段内，血药浓度都在增加，哪个时间段增加更快？学生通过计算增量28.6−6.6=22与39.1−28.6=10.5，比较时间间隔后得出前一时段增加更快的结论。在此基础上归纳出平均变化率的定义：函数f(x)在以x₁、x₂为端点的闭区间上的平均变化率等于[f(x₂)−f(x₁)]与(x₂−x₁)的比值。通过例1求f(x)=x²在[1，3]以及以1和1+Δx为端点的闭区间上的平均变化率，体会平均变化率与区间及Δx的关系。再从几何上看，平均变化率等于图象上两点连线的斜率，即割线的斜率，理解曲线倾斜程度的数量化表达。
最后结合地高辛药物残留、百米赛跑等练习，巩固平均变化率的计算与应用，感受数学抽象与直观想象的素养落点。教学中还应注意引导学生用文字、符号与图形三种语言表述平均变化率，比较它与直线斜率等已有概念的联系，体会数学概念的统一性。这些练习都指向同一个核心问题，即如何用数量刻画函数变化的快慢，为后续学习积累直观经验。
本课时研究用平均变化率估计函数值的方法与平均速度问题。先回到血药浓度情境，学生尝试估计t=4时的血药浓度：由于只知道有限个数据点，可将线段AB近似看成[3，5]上的图象，由点斜式得到直线方程，代入t=4算出估计值15.75，由此引出以直代曲的重要思想。接着借助例2，由位移数据求物体在[0.1，0.5]内的平均速度为5m/s，并用直线近似估计t=0.2时的位移为0.75m，进一步体会以直代曲的应用。教学时组织学生讨论：为什么可以用直线段代替曲线段，近似效果与区间长度有什么关系？引导学生认识到，当区间较小时，以直代曲能获得较好的近似，这为下一课时理解瞬时变化率埋下伏笔。教学中还可引导学生通过改变区间长度进行对比计算，直观感受逼近的精度变化，并尝试用插值的方法估计函数值。
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