选择性必修第三册 数列
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能够从庄子“一尺之捶”木棍长度、专利申请受理数、分期付款金额等具体情境中抽象出数列的概念，理解数列、项、项数、有穷数列与无穷数列的含义；能够观察数列的前几项归纳出通项公式，理解通项公式an=f(n)是刻画数列规律的基本方式；能够用函数观点认识数列，理解数列是定义在正整数集或其子集上的函数。在数学抽象的过程中，学生应学会舍弃具体情境中的非本质因素，抓住“按…
- 学生能够由等差数列、等比数列的定义出发，通过归纳与累加、累乘的方法推导出通项公式，经历从特殊到一般的推理过程；能够证明等差数列中as+at=ap+aq、等比数列中as·at=ap·aq等性质，规范书写演绎推理过程。在逻辑推理的学习中，学生要理解归纳推理用于发现结论、演绎推理用于验证结论的不同作用，体会由an+1-an=d累加n-1个等式推出通项公式的严谨性。…
- 学生能够识别等差数列与等比数列两种基本模型，理解等额本金还款法中每期还款数构成等差数列、等额本息还款法中每期还款数相等且其现值构成等比数列等建模过程；能够用等差数列模型解决剧场座位、教育储蓄、堆钢管等求和问题，用等比数列模型解决本息和、细胞分裂、信息传播、乘数效应等实际问题。在数学建模的过程中，学生要经历“情境分析—模型抽象—求解验证—解释说明”的完整流程，…
- 学生能够用平面直角坐标系中的点列表示数列，从图象直观认识递增数列、递减数列与常数数列，理解等差数列的图象特征是一次函数图象上的离散点、等比数列的图象特征是指数函数图象上的离散点，借助直观想象理解数列的单调性与变化趋势，形成数形结合的思维习惯，并通过图象与解析式的对照加深对直观想象素养的体验。学生能够准确运用等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式进行计算，…
- 学生能够从实验数据、统计数据中观察并发现数列规律，如由药物浓度检测数据推测衰减趋势、由脚长与鞋号的对应数据发现等差数列关系、由电子书销售数据分析总量变化；能够借助列表、描点等数据处理方法将数据特征转化为数列模型，用数列工具解释数据背后的变化规律。在数据分析的过程中，学生要体会数据是发现规律的重要来源，学会从看似杂乱的数据中寻找次序与结构，感悟数据分析在科学发…
教学重点
- 用函数观点理解数列的概念，掌握通项公式与前n项和公式的基本求法。
- 理解等差数列、等比数列的定义，掌握通项公式与求和公式的推导与应用。
- 运用等差等比数列模型解决教育储蓄、分期还款、乘数效应等实际问题。
教学难点
- 由递推关系或前n项和求通项公式，理解an与Sn的内在联系。
- 等比数列求和公式中公比q的分类讨论与错位相减法的算理。
- 用数列模型刻画分期还款、现值与未来值等实际问题的转化。
课时安排（16 课时）
- 第一课时 数列的概念
- 第二课时 数列的表示与函数特征
- 第三课时 学习数列的概念、通项公式及数列与函数的关系
- 第四课时 学习递推关系
- 第五课时 等差数列的性质
- 第六课时 学习递推关系与前n项和
- 第七课时 等差数列前n项和的性质与应用
- 第八课时 等比数列的概念与通项公式
- 第九课时 推导前n项和公式
- 第十课时 学习等差数列及其前n项和
- 第十一课时 等比数列前n项和的性质与应用
- 第十二课时 等差等比数列的综合应用
- 第十三课时 学习等比数列及其前n项和
- 第十四课时 学习数列的应用
- 第十五课时 学习数学归纳法
- 第十六课时 进行单元复习与整合提升
教学过程（节选）
本课时从生活实例引入数列概念。教材以《庄子》中“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的木棍长度序列、专利申请受理数序列等情境，让学生观察“按照一定次序排列的一列数”，抽象出数列的定义：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为这个数列的项，各项依次称为第1项（首项）、第2项……第n项。教学中结合自然数集的概念，指出数列可以看作定义在正整数集或其子集上的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值就是数列，从而建立数列与函数的联系。通过例1“写出数列1，3，5，7，…的通项公式”，学生理解通项公式的概念：如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式称为这个数列的通项公式。素养落点以数学抽象为主，学生在从情境到概念的抽象过程中体会数学抽象的层次性。
本课时深入认识数列的表示方法与函数特征。数列的表示方法有列表法、图象法与通项公式法：列表法把项数n与对应项an列出，图象法在平面直角坐标系中描出点（n，an），通项公式法用解析式表示项与项数的关系。教学中借助图象让学生观察数列的增减性，给出递增数列、递减数列、常数列与摆动数列的定义，并引导学生类比函数单调性判断数列的增减。通过例1“判断数列an＝（n＋1）/n的增减性”，学生掌握用作差法判断数列单调性的方法：若an＋1－an＞0则递增，若an＋1－an＜0则递减。教学中还讨论有穷数列与无穷数列的区别，以及数列与集合在“次序”与“互异性”上的差异。素养落点以直观想象与数学抽象为主，学生在图象观察中体会数列作为离散函数的特点。
本课时学习用递推关系表示数列。教材从细胞分裂、数列1，1，2，3，5，8，…（斐波那契数列）等实例引入，说明有些数列的相邻项之间存在确定的数量关系：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式称为这个数列的递推公式，递推公式是给出数列的一种重要方法。教学中通过例1“已知a1＝1，an＝an－1＋2（n≥2），写出数列的前5项”，让学生体会由递推公式逐项求值的过程；通过例2“由数列的前几项归纳递推关系”，训练学生观察、猜想、验证的思维能力。教学中还强调通项公式与递推公式的联系与区别：通项公式直接给出an与n的关系，递推公式给出相邻项之间的关系，由递推公式求通项公式是数列研究的重要课题。素养落点以逻辑推理与数学运算为主。
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