必修第四册 复数
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能够经历从方程x²＝－1无解到引入虚数单位i的数系扩充过程，在数学抽象的进程中理解“为使方程有解而扩充数系”的思想方法；能够从具体实例中抽象出复数的概念，准确说出复数z＝a＋bi的实部与虚部，理解复数集C的构成，体会数学抽象在数系发展中的核心作用；能够借助数系扩充的历史背景，抽象概括出“运算律在扩充过程中保持不变”的基本原则，并能用这一原则解释复数运算的…
- （二）逻辑推理目标 学生能够依据复数相等的定义，从a＋bi＝c＋di正确推出a＝c且b＝d，并能运用这一结论求解含参数的复数问题；能够依据运算法则进行演绎推理，证明复数加法、乘法的交换律、结合律与分配律，在逻辑推理的过程中理解运算律对复数仍然成立；能够证明两个共轭复数的和与积都是实数、两个共轭复数的模相等，养成步步有据的推理习惯；能够依据判别式Δ＝b²－4a…
- （三）数学建模目标 学生能够识别可以用复数刻画的实际问题与几何问题，经历把几何条件转化为复数关系、进行复数运算、再把结果解释为几何结论的数学建模过程；能够用复数建立平面几何模型，例如用复数乘积的辐角证明角的关系，用复数描述向量的旋转与伸缩；能够结合复数的三角形式，建立“乘i相当于逆时针旋转90°”的变换模型，并运用这一模型解决旋转类几何问题。在数学建模目标的…
- （四）直观想象与数学运算目标 学生能够借助复平面建立复数与点、向量的一一对应，在直观想象的支撑下理解实轴、虚轴的几何意义，知道实轴上的点对应实数、虚轴上除原点外的点对应纯虚数；能够利用图形直观理解共轭复数关于实轴对称、理解模的几何意义，会画出满足|z|＝2、1＜|z|≤3等条件的点集图形；能够熟练进行复数的加、减、乘、除四则运算，在数学运算的过程中正确运用i…
- （五）数据分析目标 学生能够依据实部与虚部的取值对复数进行准确分类，判断一个复数是实数、虚数还是纯虚数，在数据分析的过程中建立清晰的分类标准；能够把含参数的复数条件转化为方程或不等式，通过求解确定参数的取值范围，体会数据条件与代数结论之间的转化关系；能够根据复数在复平面内对应的位置信息，分析实部、虚部应满足的条件，例如判断对应点所在的象限，实现从数据特征到几…
教学重点
- 理解虚数单位i与复数概念，掌握复数的分类与复数相等条件。
- 掌握复数加减乘除四则运算法则，会进行分母实数化运算。
- 理解复数的几何意义与模的含义，掌握复数三角形式的乘除法。
教学难点
- 理解复数不规定大小，正确辨析实数、虚数与纯虚数的判定条件。
- 掌握实系数一元二次方程判别式小于零时共轭虚根的求解方法。
- 理解复数的辐角与辐角主值，掌握三角形式乘除的几何意义。
课时安排（12 课时）
- 第一课时 学习数系扩充与虚数单位
- 第二课时 规定i²＝－
- 第三课时 学习复平面与复数的几何意义
- 第四课时 研究共轭复数与模
- 第五课时 学习复数的加法与减法法则
- 第六课时 “用平行四边形法则求两个复数的和”
- 第七课时 学习复数的乘法
- 第八课时 学习分母实数化
- 第九课时 研究实系数一元二次方程的复数解
- 第十课时 学习复数的三角形式
- 第十一课时 研究三角形式乘除法
- 第十二课时 进行单元复习整合
教学过程（节选）
本课时以数系扩充的历史情境导入，从方程是否有解的角度回顾数的扩充历程：x＋4＝3在自然数范围内无解，于是引入负数；2x＝5在整数范围内无解，于是引入分数；x²＝7在有理数范围内无解，于是引入无理数；而x²＝－1在实数范围内无解，由此引出本课时的核心问题“能否引入一种新数，使得这个方程有解”。教材呈现了16世纪三次方程求根公式的历史背景，指出√－1出现在求根公式中，当时的人们发现可以把它按照类似实数的运算法则进行形式计算，从而给出方程正根为4的合理解释。由此引入虚数单位i：为了使得方程x²＝－1有解，人们规定i²＝－1，并称i为虚数单位。教学中应强调，引入i后需要定义虚数单位与实数之间的运算，且运算必须保持原有的运算律均成立，这是数系扩充的基本原则。
通过“尝试与发现”活动，学生思考如何表示2与i的和、3减去i、5与i的乘积，体会实数a与i的和记作a＋i、实数b与i的积记作bi的规定。素养落点以数学抽象为主，学生在数系扩充的探究中体会数学抽象的层次性与必要性。
本课时在虚数单位基础上建立复数的概念。一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）＝a，Im（z）＝b。所有复数组成的集合称复数集，通常用大写字母C表示。本课时重点学习复数的分类：虚部为0的复数实际上是实数；虚部不为0的复数称为虚数；实部为0的虚数称为纯虚数。通过例1“分别求实数m的取值，使得复数（m－2）＋（m＋3）i是实数、虚数、纯虚数”，学生掌握分类的判定条件：是实数则虚部为0，是虚数则虚部不为0，是纯虚数则实部为0且虚部不为0。本课时还学习复数相等的定义：a＋bi＝c＋di等价于a＝c且b＝d；特别地，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0。
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