必修第四册 立体几何初步
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能够经历从水立方、包装盒、粮仓等现实物体中抽象出长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的过程，准确说出多面体与旋转体的定义，理解各类几何体的结构特征；能够用集合语言和符号语言表示点、直线、平面及其位置关系，把“直线在平面内”“直线与平面平行”等位置关系翻译为规范的符号表达式。在数学抽象的过程中，学生将把握几何体定义中的关键条件，体会概念刻画的严…
- 学生能够理解三个基本事实与三个推论的含义，知道公理体系的奠基性地位；能够完整叙述线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，并说出它们各自给出的条件与结论；能够依据基本事实与定理，用三段式书写证明过程，证明线线、线面、面面位置关系中的简单命题，如证明直线与平面平行、平面与平面垂直；在逻辑推理中养成言必有据、步步有据的论证习惯，理解判定定理给出…
- 学生能够从生产生活情境中识别几何要素，把建筑物、容器、零件等实物抽象为柱、锥、台、球或其组合体模型；能够依据模型选择恰当的表面积与体积公式，求解包装用料、容器容量、零件体积等实际问题，并对结果的合理性作出解释；能够借助祖暅原理理解柱体、锥体、台体体积公式的推导思路，体会“幂势既同，则积不容异”的建模思想。在数学建模的过程中，学生将经历从现实问题到数学问题再到…
- 学生能够按照斜二测画法的规则，画出水平放置的平面图形与常见立体图形的直观图，能够由直观图辨认几何体并还原其结构；能够借助长方体模型想象异面直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，作出二面角的平面角，画出截面与交线；能够运用公式熟练计算柱、锥、台、球的表面积与体积，处理组合体的表面积与体积问题，在直观想象与数学运算中做到图形与计算相互印证，发展空间观念与运算能…
- 学生能够对常见几何体进行分类整理，绘制单元知识结构图，比较柱体、锥体、台体、球在结构特征、表面积公式、体积公式上的异同，形成系统的度量公式表；能够从公式的结构中提取数量关系信息，如球的表面积与半径平方成正比、体积与半径立方成正比，并据此对相关几何体的度量结果作出合理估计与判断。在数据分析的过程中，学生将学会用表格、结构图等工具组织几何信息，提高信息提取与归纳…
教学重点
- 用斜二测画法作直观图，理解柱体、锥体、台体、球的结构特征。
- 掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理。
- 会运用表面积与体积公式解决几何体的度量问题。
教学难点
- 建立空间观念，准确想象异面直线与复杂的空间图形。
- 辨析判定定理与性质定理的条件、结论及其相互转化。
- 综合运用平行与垂直关系完成多步推理与论证。
课时安排（36 课时）
- 第一课时 空间几何体的概念与直观图
- 第二课时 斜二测画法作平面图形的直观图
- 第三课时 斜二测画法作立体图形的直观图
- 第四课时 构成空间几何体的基本元素
- 第五课时 多面体与棱柱
- 第六课时 棱锥
- 第七课时 棱台
- 第八课时 圆柱、圆锥与圆台
- 第九课时 球
- 第十课时 多面体与旋转体的表面积
- 第十一课时 祖暅原理与柱体锥体的体积
- 第十二课时 台体与球的体积及组合体
- 第十三课时 平面的基本事实
- 第十四课时 基本事实的推论
- 第十五课时 点线面的位置关系与集合语言
- 第十六课时 基本事实与推论的应用
- 第十七课时 平行直线与等角定理
- 第十八课时 异面直线及其判定
- 第十九课时 直线与平面的位置关系及线面平行判定
- 第二十课时 线面平行的性质定理
- 第二十一课时 线面平行的综合应用
- 第二十二课时 平面与平面的位置关系及面面平行判定
- 第二十三课时 面面平行的性质定理
- 第二十四课时 平行关系的综合应用
- 第二十五课时 异面直线所成的角
- 第26课时 直线与平面垂直的判定定理
- 第27课时 线面垂直的性质定理
- 第28课时 直线与平面所成的角
- 第29课时 斜线、射影及其应用
- 第30课时 二面角
- 第31课时 平面与平面垂直的判定定理
- 第32课时 面面垂直的性质定理
- 第33课时 垂直关系的综合应用
- 第34课时 空间几何体复习与整合
- 第35课时 平行与垂直关系复习
- 第36课时 单元复习与综合测评
教学过程（节选）
本课时以国家游泳中心“水立方”等建筑物情境导入，明确只考虑一个物体占有的空间形状和大小而不考虑其他因素时，这个空间部分可抽象为一个几何体，例如水立方可抽象为长方体。学生需要区分平面图形与立体图形：三角形、长方形、梯形、圆等图形的各部分都在同一平面内；长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等图形的各部分不都在同一平面内。同时理解两者的联系：立体图形中有些部分是平面图形，如长方体的任何一个面都是长方形，圆柱与圆锥的底面都是圆。通过观察从不同角度拍摄的魔方照片，体会观察立体图形时角度不同看到的形状可能不同。立体几何中，用来表示空间图形的平面图形习惯上称为空间图形的直观图。素养落点以数学抽象与直观想象为主，评价任务包括判断图形的类别、举例说明平面图形与立体图形的联系。
本课时以梯形ABCD为例，学习用斜二测画法作水平放置平面图形的直观图。作图的三个步骤为：第一步，在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使它们正方向的夹角为45°（或135°）；第二步，平面图形中与x轴平行或重合的线段画成与x′轴平行或重合的线段且长度不变，与y轴平行或重合的线段画成与y′轴平行或重合的线段且长度为原来长度的一半；第三步，连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线。作直观图的关键是分别作出与x轴、y轴平行或重合的线段。通过练习明确直观图与原图形的关系：三角形的直观图还是三角形，平行四边形的直观图还是平行四边形，正方形的直观图不是正方形。素养落点以直观想象为主，评价任务包括按步骤作三角形、正方形、正五边形的直观图。
本课时学习用斜二测画法作立体图形的直观图。作图步骤为：在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图并保留坐标轴；在立体图形中过x轴与y轴的交点取z轴，使z轴垂直于x轴与y轴，作出z轴对应的z′轴，使z′轴垂直于x′轴与y′轴；图形中与z轴平行或重合的线段画成与z′轴平行或重合的线段，且长度不变；连接有关线段，擦去辅助线，把被面遮挡住的线段改成虚线。以长4、宽3、高2的长方体为例完整示范作图过程，学生模仿完成正方体的直观图。同时了解水平放置的圆的直观图一般用正等测画法画成椭圆，圆柱与球的直观图分别如图呈现。素养落点以直观想象为主，评价任务包括作出正方体、圆锥的直观图，指出直观图中的实线与虚线。
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