必修第四册 解三角形
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能从测距、测高、台风影响等现实情境中抽象出三角形及其边角关系，理解解三角形的含义，能借助示意图把文字情境转化为符号化的数学问题，在深化数学抽象的过程中体会数学模型对现实世界的刻画作用，数学抽象素养在情境转化的反复实践中得到持续发展。学生还应能区分实际问题中的已知量与未知量，用字母表示三角形元素，逐步养成用数学语言表达现实问题的习惯。教学中通过对比不同情境…
- 学生能经历正弦定理与余弦定理的发现与证明过程，理解面积法、向量法等证明思路的逻辑结构，能依据定理和已知条件进行规范的推理论证，能对“已知两边及一边对角”问题的解的个数作出合理判断，逻辑推理素养在定理学习与问题解决的全过程中得到发展。学生应能运用演绎推理表述证明过程，在推理中逐步养成言必有据、思必有序的习惯，逻辑推理素养在证明与判断活动中得到持续发展。学生应能…
- 学生能针对距离、高度、角度等测量问题建立三角形模型，经历“情境转化—定理选择—求解检验”的建模全过程，能对台风影响时间等较复杂问题设计测量与计算方案，体会数学建模的一般方法，数学建模素养在应用环节的实际操作中得到培育。学生应能通过建模活动理解同一模型在不同情境中的迁移应用，增强用数学解决实际问题的意识与能力。学生应能独立完成一次完整的测量建模，从方案设计到结…
- 学生能借助图形直观分析三角形的边角位置关系，利用向量图形理解余弦定理的几何意义，直观想象素养在图形分析中得到发展；能熟练进行三角函数求值、方程求解与代数变形，能根据数据合理取舍多解，保证运算结果的准确与规范，数学运算素养在计算实践中得到提升。学生应能通过画图预判解的情况，借助直观想象素养提高解题的预见性；在运算中自觉检验结果的合理性，使直观想象素养与数学运算…
- 学生能对测量获得的角度、距离数据加以整理与分析，能判断测量数据的合理性并据此优化测量方案，能在台风问题等情境中通过数据比对确定问题的答案，体会数据分析在决策中的作用，数据分析素养在实际问题解决中得到发展。学生应能运用表格、示意图等方式呈现数据，在数据处理过程中感受数学结论的可靠性依赖于数据质量，逐步养成严谨的数据意识。学生应能对测量数据进行误差分析，理解近似…
教学重点
- 正弦定理与余弦定理的推导与初步运用。
- 用正余弦定理解三角形的两类基本问题。
- 测量类实际问题的数学建模与综合求解。
教学难点
- 已知两边及一边对角时解的多解讨论。
- 实际情境中测量模型的抽象与转化。
- 正余弦定理的选择与综合变形运算。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 正弦定理的发现与证明
- 第二课时 正弦定理的应用
- 第三课时 正弦定理的综合运用与面积公式
- 第四课时 余弦定理的发现与证明
- 第五课时 余弦定理的应用
- 第六课时 正余弦定理的综合运用
- 第七课时 测量距离问题
- 第八课时 测量高度问题
- 第九课时 测量角度与台风问题
- 第十课时 进行单元复习与测评
教学过程（节选）
本课时以“测量河对岸两点间的距离”为情境引入，让学生体会仅凭一边两角求另一边的问题背景，激发探究欲望。情境中河对岸一点A与岸边一点B的距离不可直接测量，学生需要思考如何借助可测量的BC与两个角间接求出AB，这一转化过程正是解三角形思想的萌芽。教师引导学生回顾三角形面积公式，由S=½absinC=½acsinB=½bcsinA出发，经过变形归纳出a/sinA=b/sinB=c/sinC，从而发现正弦定理。教学中要引导学生讨论角C为锐角、直角、钝角三种情形下面积公式是否都成立，体会分类讨论的思想。随后组织学生探究比值a/sinA的几何意义，借助外接圆发现比值等于外接圆直径，深化对定理结构的理解。
课堂练习安排教材练习A的第1、2题，巩固由两角一边求边的基本运算。评价环节检查学生能否独立完成定理推导，能否准确说出正弦定理的文字表述，能否在直角三角形中验证定理成立。素养落点以数学抽象与逻辑推理为主，通过面积公式的变形与推理，让学生经历从具体到一般的抽象过程。学有余力的学生可尝试用正弦定理证明例6角平分线性质定理，感受定理在几何证明中的价值，教师根据反馈对推导中的共性问题进行讲解。
本课时聚焦正弦定理在两类基本问题中的应用。第一类是由两角一边求其他边与角，对应教材例1，学生要完成“由内角和求第三角，再由正弦定理求两边”的完整过程，体会三角形由两角一边唯一确定的结论，并与三角形全等判定定理AAS（或ASA）相呼应。第二类是由两边及一边对角求其他元素，对应教材例2，学生将经历角B有两个可能值的情形，从而认识“已知两边及一边对角”时解的不唯一性，理解其与三角形全等判定SSA不一致的道理。
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