必修第二册 指数函数、对数函数与幂函数
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 通过本单元学习，学生能够在数学抽象的活动中经历指数函数、对数函数与幂函数概念的形成过程，从碳14测年、复利计算、地震震级等具体情境中提炼变量之间的数量关系，舍弃情境中的非本质因素，抽象出三类函数的一般形式。学生能够理解指数函数y=a^x中底数a必须满足a＞0且a≠1的原因，能够辨析指数函数与幂函数在自变量位置上的区别。在深化数学抽象的过程中，学生能够用符号语…
- 通过本单元学习，学生能够在逻辑推理的过程中理解指数幂运算法则、对数运算法则与换底公式的由来，能够由指数运算的性质演绎推导对数运算的性质，体会两者之间的对应关系。学生能够利用函数单调性比较两个幂或两个对数的大小，能够证明简单的不等式，如a^(1/n)＞b^(1/n)（a＞b＞0），并理解反证法的基本思路。在逻辑推理的实践中，学生能够有条理地表达推理过程，判断推…
- 通过本单元学习，学生能够在数学建模的过程中根据实际问题的数据特征选择适当的函数模型，能够建立指数函数模型描述按固定比例增长或衰减的现象，建立对数函数模型描述按数量级变化的现象，建立幂函数模型描述增长速度先快后慢的现象。学生能够经历发现问题、提出问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型的完整过程，在4.7节生长规律的描述活动中完成一次完整的数学建…
- 通过本单元学习，学生能够在直观想象的帮助下理解三类函数的图象特征，能够由解析式预测图象的形状，由图象读出定义域、值域、单调性、定点等性质，能够利用图象解决方程与不等式的解集问题，理解指数函数与对数函数图象关于直线y=x对称的关系。在数学运算方面，学生能够熟练进行实数指数幂的化简求值，能够运用对数运算法则与换底公式进行计算，能够准确比较幂与对数的大小。通过直观…
- 通过本单元学习，学生能够在数据分析的过程中理解平均变化率刻画增长速度的作用，能够计算函数在给定区间上的平均变化率并比较不同函数增长速度的快慢，区分指数增长、线性增长与对数增长。学生能够利用表格、图象整理数据，从女童身高数据、玉米植株高度数据等真实数据中发现变化规律，判断适用的函数类型，并利用数据确定模型参数、检验模型优劣。通过数据分析，学生能够对现实数据作出…
教学重点
- 掌握实数指数幂与对数运算的运算法则。
- 理解三类函数的图象、性质及其联系。
- 会用函数模型解决实际增长问题。
教学难点
- 理解对数概念与指数对数的互逆关系。
- 运用换底公式与单调性比较大小。
- 建立并检验实际问题的函数模型。
课时安排（22 课时）
- 第一课时 前复习整数指数幂的运算法则
- 第二课时 分数指数幂及其运算
- 第三课时 与第7至，重点解决运算工具问题
- 第四课时 指数函数的概念
- 第五课时 设置“观察y=2^x与y=(1/2)^x的图象
- 第六课时 与第11至，重点研究图象与性质
- 第七课时 对数的概念
- 第八课时 常用对数、自然对数与对数求值
- 第九课时 对数运算法则
- 第十课时 换底公式与对数运算应用
- 第十一课时 对数函数的概念
- 第十二课时 对数函数的图象与性质
- 第十三课时 对数函数性质的应用
- 第十四课时 反函数的概念
- 第十五课时 指数函数与对数函数图象的关系
- 第十六课时 幂函数的概念
- 第十七课时 对比三类函数
- 第十八课时 平均变化率与增长速度
- 第十九课时 指数增长、线性增长与对数增长
- 第二十课时 突出模型选择
- 第二十一课时 数学建模活动：生长规律的描述
- 第二十二课时 完成综合应用与评价
教学过程（节选）
本课时从复习整数指数幂入手，回顾2的5次方等于32、指数运算法则等知识，在此基础上类比平方根与立方根引入n次方根的概念。通过方程x^4=81的实数解讨论，归纳n次方根的性质：正数的偶数次方根有两个且互为相反数，负数的偶数次方根在实数范围内不存在，任意实数的奇数次方根有且只有一个。教学中引导学生用根式符号表示方根，理解算术根的概念，掌握根式的性质(ⁿ√a)ⁿ=a以及n为奇数、偶数时ⁿ√(aⁿ)的化简结果。通过具体例子判断根式的符号，训练分类讨论意识，为分数指数幂的学习做好准备。课堂上安排学生独立计算2的5次方、3的4次方等值，回顾底数与指数的含义，通过填写方根表巩固n次方根的分类，为根式运算的规范化打好基础。
本课时把整数指数幂推广到分数指数幂，规定a^(1/n)=ⁿ√a，a^(m/n)=(ⁿ√a)^m=ⁿ√(a^m)，其中底数a＞0，m/n为既约分数，并约定负分数指数幂a^(-m/n)=1/a^(m/n)。教学中从“推广后运算性质仍然保持”的思想出发，说明规定a^(1/2)=√a的合理性，通过8^(3/5)×8^(2/5)=8等实例归纳有理数指数幂的运算法则a^s·a^t=a^(s+t)、(a^s)^t=a^(st)、(ab)^s=a^s·b^s。课堂上组织学生化简求值，如用分数指数幂表示根式、利用法则合并同底数幂，强调既约分数条件，规范书写过程，发展学生的数学运算素养。练习中注意引导学生比较a的6分之2次方与a的3分之1次方的区别，体会既约分数条件对定义的重要作用，减少化简中的常见错误。
本课时在有理数指数幂的基础上讨论无理指数幂，以2^π为例，利用3.1＜π＜3.2、3.14＜π＜3.15等夹逼方法理解2^π是一个确定的实数，从而把指数幂推广到实数范围。教学中介绍利用计算器与Geogebra求实数指数幂的近似值，体会现代工具在数值计算中的作用。随后回到4.1.1的情境与问题，利用科研经费支出数据（2013年221.59亿元，年增长率16.84%、14.06%、14.26%）计算年平均增长率约为15.05%，并预测2017年经费支出约为388.24亿元，让学生经历从数据到模型再到预测的完整过程，体会指数运算在解决实际问题中的价值。课堂小结时引导学生归纳实数指数幂运算的注意事项，比较有理数指数幂与无理数指数幂求值方法的异同，梳理完整的运算思路。
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