必修第一册 函数
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能够从倒水问题、心电图、创新指数等实例中抽象出函数概念，理解函数是两个非空实数集之间的对应关系，会用符号f（x）表示函数，能够辨析函数的定义域、值域与对应关系。学生能够用解析法、列表法、图象法表示函数，理解分段函数的意义，认识狄利克雷函数、取整函数、常数函数等特殊函数，体会数学抽象素养在概念建构中的作用。通过本单元学习，学生的数学抽象素养得到发展，能够从…
- 学生能够依据增函数、减函数的定义证明函数的单调性，能够判断函数在给定区间上的单调性并求最值，能够依据定义判断函数的奇偶性并利用奇偶性简化研究。学生能够理解并运用零点存在定理进行推理，能够用二分法求函数零点的近似值，推理过程步步有据、表述规范。通过证明与推理训练，学生的逻辑推理素养得到强化，能够从定义和已知事实出发，合乎逻辑地推出结论，并在综合问题中自觉运用逻…
- 学生能够把阶梯水价、城镇化人口、客房租金、矩形场地、平均成本等实际问题转化为函数模型，能够根据问题特征选择分段函数、一次函数、二次函数模型并求解。学生能够经历3.4数学建模活动的完整过程，包括发现问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证改进，能够把决定苹果的最佳出售时间点等建模过程整理成论文。通过建模实践，学生的数学建模素养得到提升，能够用数学语言…
- 学生能够通过描点作图作出函数图象，从图象中直观读出函数的单调性、奇偶性、值域等信息，能够利用图象理解零点与方程解的关系，借助数形结合解决方程与不等式问题，发展直观想象素养。学生能够准确求函数的定义域与值域，能够解方程与不等式，能够运用平均变化率等工具判断函数单调性，能够求解含参数的函数问题，在运算中体会分类讨论与等价转化思想，发展数学运算素养。直观想象素养与…
- 学生能够从表格、图象等数据形式中提取函数关系信息，例如从创新指数表中读出函数值，从实验数据中判断函数类型。学生能够收集数据并用待定系数法确定一次函数、二次函数的参数，建立描述现实规律的函数模型，能够根据数据检验模型、改进模型。通过本单元学习，学生的数据分析素养得到培育，能够用函数眼光审视数据背后的规律，为后续用统计方法处理数据、建立概率模型奠定基础，数据分析…
教学重点
- 函数概念、三种表示方法与分段函数，定义域与值域的求法。
- 单调性、奇偶性的定义，及其证明方法与图象特征。
- 函数零点与方程、不等式的关系，二分法求零点近似值。
教学难点
- 从变量观到对应关系抽象函数概念的思维跃迁。
- 用定义证明单调性时的作差变形与符号判断。
- 零点存在定理条件的理解与二分法步骤的执行。
课时安排（30 课时）
- 第一课时 函数的概念（一
- 第二课时 函数的概念（二）：定义域与值域
- 第三课时 函数的表示方法
- 第四课时 分段函数与特殊函数
- 第五课时 函数的单调性（一）：概念与图象直观
- 第六课时 函数的单调性（二）：定义与证明
- 第七课时 平均变化率与直线的斜率
- 第八课时 用平均变化率证明单调性
- 第九课时 函数的最值与最值点
- 第十课时 单调性与最值的综合应用
- 第十一课时 函数的奇偶性（一）：偶函数
- 第十二课时 函数的奇偶性（二）：奇函数
- 第十三课时 函数奇偶性的判断
- 第十四课时 奇偶性与单调性的综合应用
- 第十五课时 函数图象的对称性与性质研究
- 第十六课时 函数的零点
- 第十七课时 二次函数的零点与一元二次方程
- 第十八课时 利用函数图象解一元二次不等式
- 第十九课时 函数零点存在定理
- 第二十课时 二分法求方程的近似解
- 第二十一课时 二分法在搜索中的应用
- 第二十二课时 函数与方程、不等式的综合应用
- 第二十三课时 分段函数模型的应用
- 第二十四课时 一次函数模型的应用
- 第二十五课时 二次函数模型的应用
- 第26课时 均值不等式与函数最值
- 第27课时 数学建模：发现问题与建立模型
- 第28课时 数学建模：确定参数与计算求解
- 第29课时 数学建模：论文整理与成果交流
- 第30课时 单元复习与学业评价
教学过程（节选）
本课时以教材导语的倒水问题与心电图情境导入，让学生思考容器内水面高度y随时间t的变化关系，体会一个量随另一个量变化而变化的现象，进而复习初中变量观下的函数定义。通过中国创新指数列表与心电图实例，学生发现很多函数难以用解析式表示，初中的方法有局限性，由此引出用对应关系定义函数：给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于A中的每一个实数x，在B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在A上的函数，记作y＝f（x），x∈A。学生理解自变量、因变量、定义域的概念，会用符号表示函数，理解两个函数表达式表示同一个函数的条件。素养落点以数学抽象为主，学生在从具体情境到符号定义的抽象过程中体会数学抽象的层次。
本课时深入学习定义域与值域。定义域是自变量x的取值范围，即数集A；函数值y＝f（a）是函数在a处的函数值，所有函数值组成的集合｛y｜y＝f（x），x∈A｝称为值域。学生掌握求定义域的两条常用依据：分式中分母不能为零，二次根式中的被开方数大于或等于零，并会求形如f（x）＝√（x＋1）、g（x）＝1/x＋1/（x＋2）等函数的定义域。求值域方面，学生会用不等式性质与方程思想判断一个数是否属于值域，例如判断－√2与3是否为g（x）＝√（x＋1）值域中的元素，理解用方程判断元素是否属于值域的方法。学生还会根据解析式求函数值，如已知f（x）＝1/（x²＋1）求f（－1）、f（0）、f（2）并求值域。素养落点以数学运算与数学抽象为主。
本课时学习函数的三种表示方法。解析法是用代数式表示函数，如f（x）＝2x＋1；列表法是用表格给出函数的对应关系，如中国创新指数表；图象法是把自变量x与函数值y分别看成点的横坐标与纵坐标，点（x，y）组成的集合就是函数图象。学生理解三种表示方法各有优劣，能够根据情境选择合适的方法，并会在三种表示之间进行转换。实际作图时常采用描点作图法：先描出一些有代表性的点，再根据性质作出图象。本课时还学习用待定系数法确定函数解析式，例如已知二次函数图象过点（－1，4）、（0，1）、（1，2），设y＝ax²＋bx＋c，通过解方程组求a、b、c，得到解析式y＝2x²－x＋1。列表法与图象法便于直观呈现函数的变化趋势。素养落点以数学抽象与直观想象为主。
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