选择性必修第二册 数列
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能从树的高度记录、月亮可见部分的变化、细菌分裂后代个数等现实情境中抽象出数列的概念，理解数列是“按照确定的顺序排列的一列数”，能区分有穷数列与无穷数列，认识首项、项等基本概念。学生能通过运算发现等差数列、等比数列的取值规律，从“差相等”“比相等”的共同特征中抽象出两类数列的定义，理解公差d与公比q的含义。学生能理解数列是定义在正整数集上的特殊函数，体会通…
- 学生能依据等差数列、等比数列的定义，经历归纳推理的过程推导出通项公式an=a1+(n-1)d与an=a1·qⁿ⁻¹，理解归纳推理在数学发现中的作用。学生能根据数列的前n项和公式求出通项公式，并正确讨论n=1与n≥2两种情形，体会分类讨论的逻辑要求。学生能理解数学归纳法中归纳奠基与归纳递推两个步骤的逻辑作用，能正确使用归纳假设完成递推步骤，对与正整数有关的命题…
- 学生能识别现实问题中的数列结构，把设备价值变化、复利计息、产量增长、牧场存栏等问题转化为等差数列或等比数列模型，完成“分析问题—建立模型—求解模型—检验结果”的完整建模过程。学生能理解国际象棋麦粒问题中等比数列前64项求和的实际意义，感受数列模型在刻画递推规律事物中的强大力量。学生能综合运用等差、等比数列的知识解决储蓄、生产、生态等跨情境问题，数学建模素养在…
- 学生能绘制数列的图象，借助图象理解递增数列、递减数列、常数列的直观特征，直观想象素养在数与形的转换中得到发展。学生能借助一次函数图象理解等差数列通项公式的几何意义，借助指数函数图象理解等比数列通项公式的变化趋势，并能利用图象直观说明等差数列前n项和的最值问题。学生能熟练进行数列的项值计算、方程求解和求和运算，掌握倒序相加法、错位相减法等基本求和方法，正确处理…
- 学生能按确定顺序整理现实数据并构成数列，用表格、图象等工具呈现数据的变化规律，数据分析素养在数据整理与呈现的过程中得到发展。学生能观察数列数据的变化趋势，从数据中发现递增、递减、周期等特征，并能借助数列的单调性对数据的变化规律作出解释和推断。学生能理解斐波那契数列中相邻两项数据的递推关系，体会数据背后蕴含的数学规律。目标达成表现为学生能规范整理一组按时间顺序…
教学重点
- 数列概念、通项公式与递推公式的建立与应用。
- 等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式。
- 用数列模型刻画递推规律并解决实际问题。
教学难点
- 由数列前几项归纳通项公式并理解递推思想。
- 错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程。
- 数学归纳法中归纳递推步骤的严谨表述。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 数列的概念与表示
- 第二课时 “数列的通项公式与递推公式”
- 第三课时 “等差数列的概念与通项公式”
- 第四课时 等差数列的性质与应用
- 第五课时 “等差数列的前n项和”
- 第六课时 “等比数列的概念与通项公式”
- 第七课时 等比数列的性质与应用
- 第八课时 “等比数列的前n项和”
- 第九课时 “数学归纳法”
- 第十课时 “数列模型应用与单元复习”
教学过程（节选）
本课时以树的年高度记录、月亮可见部分的变化等情境引入，让学生观察按确定顺序排列的一列数，抽象出数列的概念，理解数列是“按照确定的顺序排列的一列数”，认识首项、第n项等概念，区分有穷数列与无穷数列。教师引导学生把数列与函数联系起来，理解数列是定义在正整数集上的离散函数，通项公式就是数列的函数解析式。通过例1由通项公式写出前5项并绘制图象，学生体会数列的表格、图象、解析式三种表示方法，观察数列项随序号变化的趋势，认识递增数列、递减数列和常数列。课堂练习安排判断一组数能否构成数列、由通项公式求项并作图等任务，检测学生对概念的掌握情况。课后布置教材练习，要求学生完成数列图象的绘制，巩固本课时的学习目标。
本课时深入学习数列的两种表示工具。首先通过例2由数列的前几项写出通项公式，教师引导学生从序号与项的对应关系入手，先观察序号的规律，再写出相应的式子，体会“由特殊到一般”的归纳方法。接着学习递推公式，以谢尔宾斯基三角形中着色三角形的个数为例，学生发现数列满足a1=1，an=3a(n-1)（n≥2），理解递推公式是表示相邻两项关系的式子，知道首项和递推公式就能求出数列的每一项。教师介绍前n项和的概念，引导学生探索Sn与an的关系，得出an=Sn（n=1）与an=Sn-S(n-1)（n≥2），并通过思考题让学生由前n项和公式求通项公式。课堂练习安排由递推公式求前5项、由前n项和求通项等任务。课后布置阅读斐波那契数列的材料，感受递推思想的应用。
本课时从北京天坛圜丘坛石板数、服装尺码、大气温度等情境引入，引导学生通过减法运算发现数列“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”的规律，抽象出等差数列的概念，认识公差d，学习等差中项的定义。教师组织探究活动，让学生根据等差数列的定义推导通项公式，经历a2=a1+d，a3=a1+2d的归纳过程，得出an=a1+(n-1)d。通过思考题引导学生观察通项公式的结构，认识等差数列的图象是均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上的点，建立等差数列与一次函数的联系。课堂练习包括判断数列是否为等差数列、求等差中项、由通项公式求公差和首项等任务。例1至例3的学习帮助学生掌握用通项公式解决问题的基本方法，如由两项求公差和首项、判断某个数是否为数列的项。
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