选择性必修第二册 一元函数的导数及其应用
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能够经历从平均速度、割线斜率等具体实例中抽象出导数概念的过程，理解导数就是函数在某一点处的瞬时变化率，能够用数学语言准确表述导数的定义。在数学抽象的推动下，学生应能从不同背景的变化率问题中发现共同结构，舍弃物理背景与几何背景的具体差异，把握“平均变化率无限趋近于瞬时变化率”这一本质特征。通过本章学习，学生能够举出效率、密度、比热容等生活中的变化率实例，并…
- 学生能够依据导数的定义推导基本初等函数的导数公式，理解导数四则运算法则与复合函数求导法则的推理依据，能够说明公式与法则为什么成立。在逻辑推理的引领下，学生应能由f′（x）＞0推出函数在相应区间内单调递增，由f′（x）＜0推出函数单调递减，能够完整表述利用导数判断函数单调性的三个步骤，即确定定义域、求导并求零点、列表判断符号。通过逻辑推理的训练，学生能够对“导…
- 学生能够经历从实际问题中建立函数模型、运用导数求解、解释并检验结果的过程，体会数学建模解决现实问题的价值。在数学建模活动中，学生应能把饮料瓶利润、净化费用、用料最省等问题转化为函数最值问题，确定函数的定义域，建立利润关于半径、费用关于纯净度的函数关系，再通过求导分析函数的变化规律。通过数学建模的实践，学生能够总结“明确问题—建立模型—求解模型—检验解释”的一…
- 学生能够理解导数的几何意义，知道导数表示曲线在该点处切线的斜率，能够借助割线逼近切线的动态过程理解以直代曲的思想。在直观想象的帮助下，学生应能由函数图象大致判断导数的正负与大小，由导函数图象推断原函数的增减快慢，建立数与形的对应关系，增强直观想象素养的体验。同时，学生应能熟练运用基本初等函数的导数公式、四则运算法则与复合函数求导法则进行求导运算，在数学运算中…
- 学生能够通过观察变化率数据表格发现趋近规律，体会用数据逼近极限值的思想方法。在数据分析的支撑下，学生应能利用计算工具计算更多平均变化率的值，观察数据随间隔缩小而变化的趋势，对极限值作出合理估计，并结合代数变形加以验证，理解药物浓度瞬时变化率表中数据的实际意义。通过数据分析的实践，学生能体会数据在数学发现中的作用，学会用数据支持结论、解释现象，为后续统计与概率…
教学重点
- 理解导数的概念及其几何意义，感悟极限思想。
- 掌握基本初等函数导数公式与四则运算法则。
- 运用导数研究函数单调性、极值与最大（小）值。
教学难点
- 由平均变化率抽象出瞬时变化率的过程。
- 复合函数求导法则的理解与准确运用。
- 由导数符号分析函数性质并解决优化问题。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 学习平均变化率与瞬时变化率
- 第二课时 抽象出导数的定义，理解其几何意义
- 第三课时 学习基本初等函数的导数公式
- 第四课时 学习导数的四则运算法则
- 第五课时 简单复合函数的导数
- 第六课时 研究函数的单调性
- 第七课时 学习函数的极值
- 第八课时 函数的最大（小）值与最优化问题
- 第九课时 开展导数综合应用与探究活动
- 第十课时 进行单元复习与评价
教学过程（节选）
本课时从跳水运动员的运动问题切入。运动员重心高度h与时间t满足h（t）=−4.9t²+4.8t+11，如何描述运动快慢成为研究的起点。先计算运动员在0≤t≤0.5内的平均速度为2.35m/s，在1≤t≤2内的平均速度为−9.9m/s，发现平均速度只能粗略反映运动状态，0≤t≤1内平均速度为0却不能说明运动员静止，暴露了平均速度刻画运动的局限，自然引出瞬时速度的概念。
教学中组织学生列表计算t=1附近不同时间间隔内的平均速度，观察Δt趋近于0时平均速度的变化趋势，发现其无限趋近于−5，由此建立“无限趋近”的初步体验，体会极限的思想。再类比抛物线f（x）=x²在点（1，1）处的切线，通过割线斜率k=Δx+2的趋近得到切线斜率2，实现物理背景与几何背景的贯通。课堂练习安排求运动员在t=0.5s时的瞬时速度与火箭爬高问题，巩固平均变化率与瞬时变化率的计算。
本课时在变化率问题的基础上抽象出导数的概念。对于函数y=f（x），当自变量从x₀变化到x₀+Δx时，比值Δy/Δx称为平均变化率，当Δx趋近于0时，若平均变化率无限趋近于确定的值，则称该值为函数在x₀处的导数，记作f′（x₀），即f′（x₀）=lim（Δx→0）Δy/Δx。通过瞬时速度是高度函数的导数、切线斜率是抛物线的导数，帮助学生理解导数就是瞬时变化率这一本质。
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