选择性必修第三册 计数原理
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能经历从座位编号、志愿填报等具体情境中抽象计数问题的过程，理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的数学表达，能用准确的语言描述完成一件事情的方式。在数学抽象素养的发展中，学生应能从若干具体计数问题中概括出分类与分步的共同特征，归纳出排列与组合的一般定义，并会用符号A(n,m)、C(n,m)表示排列数与组合数。目标达成表现为：学生能独立把一个新的生活问题转…
- 学生能依据分步乘法计数原理推导排列数公式与组合数公式，能运用计数意义解释组合数性质，能证明二项式定理并推出二项式系数的性质，形成严谨的推理论证习惯。在逻辑推理素养的发展中，学生应理解排列数公式A(n,m)=n(n-1)…(n-m+1)的填位推理过程，掌握用分类加法计数原理说明组合恒等式的证明方法，体会演绎推理在数学结论获得中的重要作用。目标达成表现为：学生能…
- 学生能运用两个计数原理、排列组合知识与二项式定理建立计数模型，解决汽车号牌编码、程序模块测试、汉字编码等实际问题，经历建模、求解、检验的完整过程。在数学建模素养的发展中，学生应学会根据问题特征选择合适的计数模型，会用先分类后分步的策略分解复杂问题，能对建模结果进行合理性检验。目标达成表现为：学生能针对实际问题写出完整的建模过程，说明分类标准或分步顺序的选择依…
- 学生能借助树状图直观列出计数结果，理解分步乘法计数原理的运算过程；能把二项式系数看作函数f(r)=C(n,r)并画出图象，借助图象直观发现二项式系数的对称性、增减性与最大值。在直观想象素养的发展中，学生应学会用图形辅助计数分析与性质探究，通过图象与数表的对照加深对直观想象素养的体验。在数学运算素养的发展中，学生应能熟练计算排列数与组合数，会灵活运用阶乘形式化…
- 学生能借助计算工具计算二项式系数并填写数表，通过观察数据发现二项式系数的对称性与和等于2ⁿ等规律，能运用数据分析的方法探究杨辉三角的性质并验证结论。在数据分析素养的发展中，学生应经历收集数据、整理数据、观察规律、提出猜想、证明结论、检验结果的完整过程，学会用数据说话。目标达成表现为：学生能独立完成n=1到n=10的二项式系数计算，能从杨辉三角中发现至少两条规…
教学重点
- 准确判断完成事情的方式是分类还是分步。
- 正确应用排列数公式与组合数公式进行计数。
- 熟练运用通项公式求二项展开式的指定项。
教学难点
- 在综合问题中识别分类与分步的依存关系。
- 辨析排列的有序性与组合的无序性。
- 区分二项式系数与项的系数的不同含义。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 学习分类加法计数原理
- 第二课时 分步乘法计数原理
- 第三课时 属于原理层
- 第四课时 学习排列的概念
- 第五课时 排列数公式与阶乘
- 第六课时 组合与组合数公式
- 第七课时 属于公式层
- 第八课时 学习二项式定理
- 第九课时 属于应用层
- 第十课时 属于整合层
教学过程（节选）
本课时以汽车号牌扩容为情境导入：汽车号牌的序号由26个英文字母与10个阿拉伯数字组成，如果用一个英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？学生通过列举得到26+10=36种，初步感受分类计数思想。教师引导学生分析问题特征：完成的事情是给一个座位编号，或者用字母或者用数字，把两类号码数相加即得总数。由此抽象出分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种方法，那么完成这件事共有N=m+n种方法。 随后通过高考志愿填报问题、书架取书问题等例题巩固应用。例1中一名高中毕业生在A、B两所大学各有一些强项专业，只能选一个专业，共有5+4=9种选择；例3中从书架三层任取1本书，共有4+3+2=9种取法。
课堂练习安排判断分类问题并计算，课末小结分类加法计数原理的适用条件并布置教材练习。
本课时承接上节课的座位编号问题，改变条件：用前6个大写英文字母和1到9九个阿拉伯数字，以A1、A2、…的方式给座位编号，总共能编出多少种不同的号码？学生通过树状图列出所有号码，发现得到一个号码要先确定英文字母、后确定数字，共6×9=54种。教师引导学生与分类加法计数原理对比，体会和与或的区别，抽象出分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种方法，做第2步有n种方法，那么完成这件事共有N=m×n种方法。 例题教学围绕选男生女生各1名代表参赛、书架三层各取1本书、3幅画选2幅挂左右两边等问题展开。教师强调无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数，这是原理成立的前提。课堂练习安排判断分步问题并计算，包括从5名同学中选出正副组长各1名。
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