选择性必修第三册 成对数据的统计分析
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 通过本单元的学习，学生能从身高与体重、施肥量与粮食亩产量等生活情境中抽象出相关关系的概念，准确辨析相关关系与函数关系的区别，理解相关关系中变量取值的不确定性特征。学生能够在数学抽象的思维活动中，从散点分布的同号规律出发，经历构造数字特征刻画相关性的过程，理解样本相关系数公式的构造原理。学生还应能从实际问题中抽象出解释变量与响应变量的角色定位，认识一元线性回归…
- 通过本单元的学习，学生能依据散点图的分布特征，运用归纳推理判断两个变量是否相关、是正相关还是负相关，并能够依据频率稳定于概率的原理，从样本数据推断总体特征。学生应能理解借助n维向量夹角推导样本相关系数取值范围为[-1，1]的推理过程，体会演绎推理在统计理论中的运用。在独立性检验的学习中，学生应在逻辑推理的过程中理解零假设的含义，依据χ²统计量与临界值的大小比…
- 通过本单元的学习，学生能经历从实际问题出发建立统计模型的完整过程。面对由胸径预测树高、由父亲身高预测儿子身高等问题，学生能根据散点图特征判断变量之间是否线性相关，进而建立一元线性回归模型，用最小二乘法求出经验回归方程，并利用模型进行预测。学生还应掌握模型评价与改进的基本方法，在数学建模素养的引领下，能够通过残差图和决定系数R²判断模型的拟合效果，在模型效果不…
- 通过本单元的学习，学生能借助散点图直观判断两个变量的相关关系与相关程度，借助残差图判断模型是否满足回归假设，借助等高堆积条形图比较两个分类变量各类别的频率差异，在图形的观察与解读中发展直观想象素养。同时，学生应能正确计算样本相关系数、最小二乘估计量与χ²统计量，熟练掌握运用计算工具处理真实数据的方法，在规范细致的数学运算中保障统计结论的可靠性。教学中应让学生…
- 通过本单元的学习，学生能围绕明确的研究问题，经历收集成对样本数据、整理数据、提取信息、构建模型、作出推断的完整数据分析过程。学生能根据研究目的选择恰当的统计工具，用散点图与样本相关系数分析数值变量的相关性，用2×2列联表与独立性检验分析分类变量的关联性，并能够结合具体情境对统计结论作出合理解释。学生还应认识样本随机性对统计结论的影响，理解统计推断结论可能犯错…
教学重点
- 用散点图与样本相关系数刻画变量的相关关系。
- 用最小二乘法求经验回归方程并进行预测。
- 用2×2列联表与χ²独立性检验推断分类变量关联性。
教学难点
- 理解相关关系与回归模型蕴含的统计推断思想。
- 运用残差分析与决定系数评价并改进回归模型。
- 理解独立性检验中小概率原理与结论的含义。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 相关关系与散点图
- 第二课时 样本相关系数
- 第三课时 一元线性回归模型
- 第四课时 最小二乘估计
- 第五课时 残差分析与模型评价
- 第六课时 非线性回归模型的拟合
- 第七课时 分类变量与2×2列联表
- 第八课时 独立性检验
- 第九课时 开展统计建模实践活动
- 第十课时 进行单元复习与综合评价
教学过程（节选）
本课时学习相关关系的概念与散点图的画法。课堂从生活情境引入，展示人体脂肪含量与年龄、商品销售收入与广告支出、粮食亩产量与施肥量等成对数据，让学生认识到两个变量之间存在关系但又达不到函数关系的普遍现象，由此抽象出相关关系的概念，辨析相关关系与函数关系的区别。接着以脂肪含量与年龄的14组成对数据为载体，引导学生用横轴表示年龄、纵轴表示脂肪含量，在直角坐标系中描点，认识散点图的意义。学生观察散点图，发现散点大致落在从左下角到右上角的直线附近，归纳正相关与负相关的判断方法，再借助图形辨析线性相关与非线性相关。教学中组织学生举出生活中正相关与负相关的实例，并依据散点图推断变量之间是否存在相关关系，培养直观想象素养。
课末安排练习，让学生根据散点图判断相关类型，完成学习任务单，检测对相关关系与散点图的理解情况。
本课时学习样本相关系数的意义、构造与性质。课堂先回顾散点图的直观性及其局限性，提出如何定量刻画两个变量线性相关程度的问题。教师引导学生将成对数据以均值为中心平移，观察散点分布的象限规律，体会构造数字特征刻画相关性的思路。学生经历从散点同号规律到构造Lxy，再到标准化处理得到样本相关系数r的完整过程，理解公式的构造原理。结合n维向量数量积的知识，学生理解由cosθ∈[-1，1]推出r∈[-1，1]的推理过程，认识r的符号反映相关方向、|r|的大小反映线性相关程度。学生用计算工具计算脂肪含量与年龄的样本相关系数，得到r≈0.97，体会正线性相关程度很强的含义。教学中通过例2、例3让学生计算居民年收入与商品销售额、体重与身高、臂展与身高的相关系数，比较相关程度的大小。
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