选择性必修第三册 随机变量及其分布
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 在数学抽象素养的引领下，学生能从班级抽样、家庭子女、产品检验等具体情境中抽象出条件概率的概念，理解P(B|A)=P(AB)/P(A)的含义，能区分条件概率与积事件概率；能理解随机变量是把样本空间的样本点与实数建立对应关系的抽象结果，能根据变量的取值特征判断离散型随机变量与连续型随机变量。在数学抽象的进程中，学生应能用自己的语言复述条件概率与随机变量的定义，能…
- 在逻辑推理素养的引领下，学生能由条件概率的定义推导出概率的乘法公式，能依据样本空间的划分推导出全概率公式，能证明条件概率的基本性质；能由分布列的性质推导均值、方差的性质D(aX+b)=a²D(X)，能借助二项式定理说明二项分布概率之和为1，能通过组合恒等式推导超几何分布的均值。在逻辑推理的实践中，学生应养成言必有据的习惯，能完整写出公式推导的关键步骤，能辨析…
- 在数学建模素养的引领下，学生能识别实际问题中的伯努利试验，建立n重伯努利试验模型，利用二项分布计算概率；能根据不放回抽样的特征建立超几何分布模型，解决产品检验、代表选举等实际问题；能借助正态分布模型刻画连续型随机变量的分布，利用3σ原则对生产质量等实际问题作出判断。在数学建模的过程中，学生应经历“分析问题—识别模型—建立模型—求解检验”的完整环节，能说明选择…
- 在直观想象素养的引领下，学生能借助树状图直观列出n重伯努利试验的结果，能通过概率分布图直观比较随机变量取值的集中与离散程度，能借助频率分布直方图到正态曲线的逼近过程理解正态密度函数的由来，能根据正态曲线的对称性判断参数μ、σ对曲线形状的影响。在数学运算素养的引领下，学生能准确计算古典概型中的样本点数，能熟练求出简单随机变量的分布列，能计算离散型随机变量的均值…
- 目标达成表现为：学生能借助图形直观解释分布特征，能在较复杂的计算中保持运算正确，并能用均值、方差的结果解释实际问题的意义。
- 在数据分析素养的引领下，学生能通过掷骰子等试验收集数据，用样本均值、样本方差估计总体的数字特征，理解随机变量均值与样本均值之间的联系，体会频率稳定于概率的思想；能用频率分布直方图整理和分析样本数据，能从直方图轮廓的极限过程理解正态分布模型的建立，能用正态分布、二项分布等模型对数据作出统计推断。在数据分析的过程中，学生应能规范地整理数据、绘制图表、计算统计量，…
教学重点
- 条件概率公式与全概率公式的建立与运用。
- 离散型随机变量分布列及均值方差的求法。
- 二项分布、超几何分布与正态分布的应用。
教学难点
- 条件概率中样本空间的变化与全概率公式的构造。
- 分布列的完整性及均值方差统计意义的理解。
- 二项分布与超几何分布的区分及正态分布的应用。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 围绕“已知抽到团员
- 第二课时 围绕“产品由多台车床加工
- 第三课时 围绕“抽检次品数如何数量化”引入随机变量
- 第四课时 围绕“次品数的分布规律如何完整刻画”引入分布列
- 第五课时 离散型随机变量的均值
- 第六课时 离散型随机变量的方差
- 第七课时 前布置回顾排列组合知识
- 第八课时 超几何分布
- 第九课时 围绕“质量误差服从什么分布”引入正态分布
- 第十课时 进行单元复习与概率建模测评
教学过程（节选）
本课时从班级抽样情境引入：某班45名学生中男生25人、团员30人，已知选到的是团员，求选到男生的概率。通过比较P(B)与P(B|A)的差异，让学生初步感受“在事件A发生的条件下事件B发生”的概率意义，进而抽象出条件概率的定义P(B|A)=P(AB)/P(A)。教学中结合两个小孩家庭性别的例子，帮助学生理解条件概率是缩小样本空间后的概率计算，体会P(B|A)与P(AB)的区别。随后学习条件概率的三条性质，包括P(Ω|A)=1、互斥事件概率的可加性、对立事件概率的关系，并让学生尝试证明。例题安排抽题不放回问题，用两种方法求解条件概率，比较基于样本空间与基于缩小样本空间两种思路的优劣。
素养落点以数学抽象与逻辑推理为主，学生通过从具体问题到一般定义的抽象过程发展数学抽象素养，通过性质的推导体验逻辑推理。课末引导学生总结条件概率的求法步骤，布置教材相关练习。
本课时从产品检验情境引入：一批零件由两台车床加工，各台车床的产量占比与次品率已知，求综合次品率。学生通过“按来源分类求和”的直观思路体会化整为零的思想，进而抽象出样本空间划分的概念，归纳全概率公式P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)。教学中要引导学生理解全概率公式的结构特征，明确事件B1、B2、…、Bn构成样本空间划分的条件，区分全概率公式与乘法公式的适用情境。例题安排三台车床加工零件的次品率问题与抽奖问题，让学生在应用中掌握“先划分、再求和”的解题模式。教学中还要注意条件概率与全概率公式的综合运用，如已知结果反推原因的问题，可引导学生思考贝叶斯公式的思想雏形，为后续学习作铺垫。素养落点以逻辑推理与数学运算为主，通过公式推导发展逻辑推理素养，通过概率计算训练运算能力。
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