必修第一册 指数函数与对数函数
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能够从景区游客人次增长、碳14含量衰减等具体情境中抽象出指数函数的概念，能够从已知底数和幂的值求指数的问题中抽象出对数的概念，理解指数式与对数式的互化关系。经历把指数概念由整数指数幂逐步推广到分数指数幂、无理数指数幂直至实数指数幂的过程，体会数学概念推广的一般方法。在数学抽象的反复训练中，学生应能识别实际问题中的指数增长与指数衰减特征，把现实情境转化为数…
- 学生能够由指数幂运算性质类比推导对数的运算性质，能够运用函数零点存在定理推断方程解的存在性，并借助函数的单调性证明解的唯一性。能根据指数函数与对数函数互为反函数的关系，推出两者定义域与值域互换、图象关于直线y=x对称等结论，形成从已知事实出发进行演绎推理的能力。在逻辑推理素养的发展过程中，学生应学会用合情推理提出猜想、用演绎推理验证猜想，能够条理清晰地书写推…
- 学生能够经历用函数构建数学模型解决实际问题的完整过程，掌握“分析增长方式—选择函数类型—建立模型—求解验证—解释说明”的基本路径。能够根据马尔萨斯人口模型、碳14测年模型等具体实例，理解模型参数的实际意义，能够对模型结果与实际情况的差异作出合理说明。在数学建模素养的发展中，学生应参与一次完整的数学建模活动，完成收集数据、建立模型、检验模型、撰写报告等任务，体…
- 直观想象目标：学生能够通过描点作图与信息技术动态演示，建立指数函数、对数函数图象的整体印象，理解底数a的变化对图象位置与升降趋势的影响，能够借助图象比较函数值的大小，能够利用互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称的性质解决有关问题。数学运算目标：学生能够熟练运用实数指数幂的运算性质化简求值，能够运用对数运算性质与换底公式进行对数运算，能够按照二分法的步骤完…
- 学生能够通过对景区游客人次、人口数据、茶水温度数据等的分析，体会“做减法得年增加量、做除法得年增长率”等数据处理方法，能够用散点图直观呈现数据的分布规律，并根据数据的增长特征选择适当的函数模型。能通过计算工具计算函数值、绘制函数图象，用数据检验模型的合理性，能用数据说明不同函数增长方式的差异。在数据分析素养的发展过程中，学生应养成用数据说话的习惯，能够在数据…
教学重点
- 指数式与对数式互化，实数指数幂运算性质。
- 指数函数与对数函数图象性质及底数分类讨论。
- 函数零点存在定理与二分法求方程近似解。
教学难点
- 分数指数幂与无理数指数幂概念的推广理解。
- 根据增长方式差异选择恰当的函数模型。
- 对数函数性质与反函数关系的综合运用。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 通过n次方根与分数指数幂的规定
- 第二课时 侧重实数指数幂运算性质的运用
- 第三课时 借助两个真实问题归纳指数函数定义
- 第四课时 指数函数的图象和性质
- 第五课时 从求指数的问题中引出对数概念
- 第六课时 让学生仿照积的对数公式的推导过程
- 第七课时 对数函数的概念与图象性质先复习碳14衰减问题：已
- 第八课时 互为反函数与不同函数增长的差异
- 第九课时 学习函数的零点与二分法
- 第十课时 让学生完整经历“分析增长方式—选择函数类型—建立
教学过程（节选）
教学从复习整数指数幂入手，由平方根、立方根的意义类比得到n次方根概念：如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*。通过具体实例归纳出：n为奇数时，正数的n次方根是正数、负数的n次方根是负数；n为偶数时，正数的n次方根有两个且互为相反数；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。在此基础上给出根式概念与性质（ⁿ√a）ⁿ=a，并探究（ⁿ√aⁿ）的化简。随后由“根式的被开方数指数能被根指数整除时，根式可表示为分数指数幂”引入规定：a的m/n次方等于ⁿ√aᵐ（a>0，m，n∈N*，n>1），负分数指数幂与负整数指数幂意义相仿，0的正分数指数幂等于0、负分数指数幂没有意义。最后通过例2至例4的求值与化简，归纳有理数指数幂的三条运算性质。
课末梳理n次方根—根式—分数指数幂的推广线索，为下课时学习无理数指数幂作铺垫。
教学从问题“当指数x是无理数时，aˣ的意义是什么”切入，回忆用有理数近似值认识无理数的方法。以5的√2次方为例，用计算工具分别计算√2的不足近似值与过剩近似值所对应的5的幂，观察发现两串有理数指数幂分别递增与递减，逐渐逼近同一个数，这就是5的√2次方，从而体会“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的极限思想。在此基础上归纳：无理数指数幂aˣ（a>0，α为无理数）是确定的实数，从而把指数x的取值范围拓展到全体实数。进而指出整数指数幂的运算性质对实数指数幂仍然适用，即aʳaˢ=aʳ⁺ˢ、（aʳ）ˢ=aʳˢ、（ab）ʳ=aʳbʳ（a>0，b>0，r，s∈R），并通过例4强化对三条性质的理解。本课时还安排用计算工具探究实数指数幂变化规律的练习。
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