必修第一册 一元二次函数、方程和不等式
单元内容概览
（一）教材地位与作用
单元学习目标
- 学生能从限速、质检、三角形三边关系、垂线段最短等具体情境中识别数量之间的不等关系，经历从现实问题到数学符号的抽象过程，会用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；能结合赵爽弦图理解a²＋b²≥2ab的由来，并通过代换抽象出基本不等式，体会数学抽象从图形直观到符号表达、从特殊到一般的思维历程；能说出用不等式刻画问题中数量范围的现实意义，认识到不等式是刻画不等…
- 学生能梳理等式的基本性质，通过类比猜想不等式的基本性质，并运用两个实数大小关系的基本事实对性质进行严谨证明，理解推理过程中每一步的依据；能运用分析法证明基本不等式，掌握从结论出发追溯充分条件、再把证明过程倒序整理的综合表述方法，理解“当且仅当a＝b时等号成立”的充要条件；能利用不等式的基本性质推导同向不等式相加、同向正数相乘、乘方等常用性质，在逻辑推理中养成…
- 学生能识别实际问题中的优化需求，把篱笆围菜园、贮水池造价、房屋建筑造价等实际问题转化为“已知和为定值求积的最大值”或“已知积为定值求和的最小值”的数学模型，运用基本不等式求出最值并检验结果是否符合实际；能把产量、销量、价格、刹车距离等问题中的数量关系表示为不等式模型，借助一元二次不等式的解法确定变量的取值范围，并对解集结合实际情况作出取舍；经历从问题情境、建…
- 学生能借助二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，直观观察函数值在x轴上、下方变化的情况，理解图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，从而把一元二次不等式的解集与图象位置对应起来，形成以形助数的直观想象能力；能利用数轴表示两个实数的大小关系，利用圆中直径与弦的图形理解基本不等式的几何意义，在直观想象素养的支撑下把握代数结论的几何背景。同时，学生应能熟练进行作…
- 学生能对实际问题中的数据信息进行提取与整理，如把杂志的定价、销量、收入之间的数量关系转化为不等式，把摩托车生产数量与创收价值的关系转化为一元二次不等式；能结合问题的实际背景对解集作出分析判断，如由产量x只能取整数值确定生产51至59辆，由车速v＞0且解集中的数据估计车速至少为80km/h；能通过分析数据之间的关系发现数量规律，如由窗户面积与地板面积的比例关系…
教学重点
- 用不等式表示实际问题中的不等关系，掌握作差比较法。
- 掌握不等式的基本性质，理解基本不等式及其应用。
- 借助二次函数图象求解一元二次不等式并应用于实际。
教学难点
- 类比等式性质推导不等式性质时把握不等号方向的变化。
- 应用基本不等式求最值，正确把握等号成立的条件。
- 根据二次函数图象与方程根的关系确定不等式解集。
课时安排（10 课时）
- 第一课时 的目标为“能从具体情境中识别不等关系
- 第二课时 实数大小比较的基本事实
- 第三课时 不等式的基本性质
- 第四课时 不等式性质的综合应用
- 第五课时 从赵爽弦图与代数证明两个角度认识基本不等式
- 第六课时 基本不等式求最值
- 第七课时 在真实问题情境中综合应用
- 第八课时 建立一元二次不等式的概念并借助图象获得解法
- 第九课时 一元二次不等式的实际应用教师呈现例4：摩托车整车
- 第十课时 单元复习与测评
教学过程（节选）
本课时从现实情境出发认识不等关系。课堂伊始，教师呈现道路限速40km/h、酸奶中脂肪含量不少于2.5%、三角形两边之和大于第三边、垂线段最短等实例，引导学生观察并发现其中蕴含的数量关系，体会相等与不等是现实世界中最基本的数量关系。学生尝试把上述问题用不等式或不等式组表示，如设车速为v，则0＜v≤40；设脂肪含量为f，则f≥2.5%。 随后，教师呈现杂志定价问题：杂志原价每本2.5元可售出8万本，单价每提高0.1元销量减少2000本，如何定价使销售总收入不低于20万元。学生尝试用不等式表示其中的数量关系，发现列式后无法直接求解，产生认知冲突，明确本单元的学习任务。课后作业要求学生举出生活中的不等关系实例并用不等式表示，为下一课时学习实数大小比较作铺垫。
本课时评价重点为学生能否正确识别不等关系并用不等式规范表示。
本课时研究两个实数大小比较的依据。教师先引导学生回顾数轴上的点与实数一一对应，借助数轴上点的左右位置规定实数的大小：点A在点B左边时a＜b，点A在点B右边时a＞b。在此基础上归纳基本事实：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b，反过来也对。学生理解到比较两个实数的大小可以转化为比较它们的差与0的大小，明确0是正数与负数的分界点。 教师以例1引导学生运用作差比较法：比较(x＋2)(x＋3)与(x＋1)(x＋4)的大小。学生通过多项式展开作差，得到差为2＞0，从而判断前者大于后者。课后作业包括比较代数式大小与利用基本事实判断命题真假。本课时评价重点为学生能否规范完成作差、变形、定号、结论的完整过程，理解基本事实是判断大小关系的根本依据。
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